Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os (x,y) tais que 0 <= x <= 8 e 0 <= y <= a raiz cúbica de x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região definida por
e
é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente integrais e métodos de volumes por rotação, como o método das cascas cilíndricas. Precisamos entender como aplicar a integração para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. A curva
pode ser reescrita como
. Quando giramos essa região ao redor do eixo
, cada pequeno pedaço em
cria uma casca cilíndrica. Por isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume
pode ser encontrado pela integral:
Aqui,
é a distância da casca ao eixo de rotação (
-eixo) e
é a altura da casca, que, neste caso, é
.
Passo 4
Vamos substituir
na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 0 a 8:
Calculando
:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
.