Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os (x,y) tais que 0 <= x <= 8 e 0 <= y <= a raiz cúbica de x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região definida por 0 <= x <= 8 e 0 <= y <= a raiz[3]x é girada em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente integrais e métodos de volumes por rotação, como o método das cascas cilíndricas. Precisamos entender como aplicar a integração para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. A curva y = a raiz[3]x pode ser reescrita como x = (ya)^3. Quando giramos essa região ao redor do eixo y, cada pequeno pedaço em x cria uma casca cilíndrica. Por isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume V pode ser encontrado pela integral:
V = 2pi integralx=0^x=8 x cdot h(x) , dx
Aqui, x é a distância da casca ao eixo de rotação ( y-eixo) e h(x) é a altura da casca, que, neste caso, é a raiz[3]x.

Passo 4

Vamos substituir h(x) na integral:
V = 2pi integral0^8 x cdot a raiz[3]x , dx = 2pi a integral0^8 x cdot x^1/3 , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
x cdot x^1/3 = x^1 + 1/3 = x^4/3
Então, a integral fica:
V = 2pi a integral0^8 x^4/3 , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral x^4/3 , dx = 37 x^7/3 + C
Aplicando os limites de 0 a 8:
V = 2pi a [ 37 x^7/3 ]0^8 = 2pi a ( 37 cdot 8^7/3 - 37 cdot 0^7/3 )
Calculando 8^7/3:
8^1/3 = 2 Rightarrow 8^7/3 = (8^1/3)^7 = 2^7 = 128
Então:
V = 2pi a ( 37 cdot 128 ) = 2pi a cdot 3847 = 7687 pi a

Resposta

O volume do sólido é boxeddfrac7687 pi, a.

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