Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^-11s(s+1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace de F(s)=1s(s+1) usando o teorema da convolução. O conteúdo é Transformada de Laplace e vamos precisar aplicar o teorema que relaciona o produto em s com a convolução no domínio do tempo.

Passo 2

Pelo teorema da convolução, se F(s)=G(s),H(s), então f(t)=(g*h)(t)=integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau. Aqui podemos separar

Passo 3

Identificamos G(s)=1s e H(s)=1s+1. Suas transformadas inversas são

Passo 4

Agora, fazemos a convolução:
$$
f(t)=(g*h)(t)=\int_{0}^{t}1\cdot e{-(t-\tau)},d\tau=\int_{0}{t}e^{-(t-\tau)},d\tau,. f(t)=(g*h)(t)=integral0^t1cdot e^-(t-tau),dtau=integral0^te^-(t-tau),dtau,çá
f(t)=\int_{u=t}{0}e{-u}(-du)=\int_{0}{t}e{-u},du=\bigl[-e{-u}\bigr]_{0}{t}=1-e^{-t},.$$

Resposta

f(t)=1-e^-t

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