Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
F(s)=\frac{2 s-3}{s^{2}+2 s+10}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s-3}{s^{2}+2s+10}.
O assunto aqui é transformada de Laplace inversa de funções racionais. Vamos usar completamento do quadrado no denominador e os pares básicos
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \quad \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+10 = (s+1)^{2} + 9.

Passo 3

Reescreva o numerador em função de s+1:
2s-3 = 2(s+1) -5.
Assim
F(s) = \frac{2(s+1)-5}{(s+1)^{2}+3^{2}} = 2\,\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}} \;-\;5\,\frac{1}{(s+1)^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Identificando os termos com os pares de transformada:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\} = e^{-t}\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\} = e^{-t}\sin(3t).
Para o segundo termo note que
\frac{-5}{(s+1)^{2}+3^{2}} = -\frac{5}{3}\;\frac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}} \;\Longrightarrow\; -\frac{5}{3}e^{-t}\sin(3t).
Somando as duas partes, obtemos
f(t) = 2\,e^{-t}\cos(3t) \;-\;\frac{5}{3}\,e^{-t}\sin(3t).

Resposta

f(t) = 2\,e^{-t}\cos(3t) \;-\;\frac{5}{3}\,e^{-t}\sin(3t).

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