Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
F(s)=\frac{1-2 s}{s^{2}+4 s+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1-2\,s}{s^{2}+4\,s+5}.
Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e usar fórmulas conhecidas de transformadas de funções do tipo e^{-a t}\cos(bt) e e^{-a t}\sin(bt).

Passo 2

Começando pelo denominador, note que
s^{2}+4s+5 = (s+2)^{2}+1.
Agora reescrevemos o numerador em função de (s+2). Como
1-2\,s = -2\,(s+2) +5,
temos
F(s)=\frac{-2\,(s+2)}{(s+2)^{2}+1} \;+\;\frac{5}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 3

Usamos as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\Bigr\}=e^{-a t}\cos(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\Bigr\}=e^{-a t}\sin(bt).
Aplicando a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{-2\,(s+2)}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\} =-2\,e^{-2t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{5}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\} =5\,e^{-2t}\sin t.

Passo 4

Somando essas partes, obtemos
f(t)=-2\,e^{-2t}\cos t \;+\;5\,e^{-2t}\sin t = e^{-2t}\bigl(-2\cos t+5\sin t\bigr).

Resposta

f(t)=e^{-2t}\bigl(-2\cos t+5\sin t\bigr)

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