Questão 1. Calcule a área e a massa das seguintes superfícies:
e
, sendo a densidade superficial
;
Passo 1
O enunciado pede a área e a massa da parte da esfera de raio
acima do plano
, mas restringida ao cilindro projetado
. A densidade superficial é
. Para resolver, vamos ver essa parte de esfera como o gráfico
usar a fórmula de elemento de área
e em seguida calcular
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
.
onde
. Assim
Logo
Passo 3
Para a área, mudamos para coordenadas polares
em
, com
,
. Então
No interno, faça
,
:
Portanto
Passo 4
Para a massa, temos
Separe o angular e o radial:
Então
.
Passo 5
Calculemos
Use
,
,
. Logo
Integre:
Assim
Logo
Resposta
Área:
.
Massa: .
Massa: