Questão 1. Calcule a área e a massa das seguintes superfícies:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,0 \leq z e x^{2}+y^{2} \leq 1, sendo a densidade superficial \delta(x, y, z)=y^{2};

Passo 1

O enunciado pede a área e a massa da parte da esfera de raio 2 acima do plano z=0, mas restringida ao cilindro projetado x^{2}+y^{2}\le1. A densidade superficial é \delta(x,y,z)=y^{2}. Para resolver, vamos ver essa parte de esfera como o gráfico
z=\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}},\quad (x,y)\in D=\{x^{2}+y^{2}\le1\},
usar a fórmula de elemento de área
dS=\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\;dx\,dy
e em seguida calcular
A=\iint_{D}dS, \quad M=\iint_{D}y^{2}\,dS.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z(x,y).
z_x=-\frac{x}{\sqrt{4-r^{2}}}, \quad z_y=-\frac{y}{\sqrt{4-r^{2}}},
onde r^{2}=x^{2}+y^{2}. Assim
1+z_x^{2}+z_y^{2} =1+\frac{x^{2}+y^{2}}{4-r^{2}} =\frac{4-r^{2}+r^{2}}{4-r^{2}} =\frac{4}{4-r^{2}}.
Logo
dS =\sqrt{\frac{4}{4-r^{2}}}\;dx\,dy =\frac{2}{\sqrt{4-r^{2}}}\;dx\,dy.

Passo 3

Para a área, mudamos para coordenadas polares (r,\theta) em D, com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Então
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\frac{2}{\sqrt{4-r^{2}}}\;r\,dr\,d\theta.
No interno, faça u=4-r^{2}, du=-2r\,dr:
\int_{0}^{1}\frac{2r}{\sqrt{4-r^{2}}}\,dr =\int_{u=4}^{u=3}\frac{-1}{\sqrt{u}}\,du =4-2\sqrt{3}.
Portanto
A =2\pi\,(4-2\sqrt{3}) =4\pi\,(2-\sqrt{3}).

Passo 4

Para a massa, temos
M =\iint_{D}y^{2}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \bigl(r\sin\theta\bigr)^{2} \frac{2}{\sqrt{4-r^{2}}}\;r\,dr\,d\theta.
Separe o angular e o radial:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi,
I=\int_{0}^{1}\frac{2\,r^{3}}{\sqrt{4-r^{2}}}\,dr.
Então M= \pi\,I.

Passo 5

Calculemos
I =2\int_{0}^{1}\frac{r^{3}}{\sqrt{4-r^{2}}}\,dr.
Use u=4-r^{2}, du=-2r\,dr, r^{2}=4-u. Logo
I =2\int_{u=4}^{u=3}\frac{(4-u)}{2\sqrt{u}}(-du) =2\int_{3}^{4}\frac{4-u}{2\sqrt{u}}\,du =\int_{3}^{4}\bigl(4u^{-1/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Integre:
\int4u^{-1/2}du=8\sqrt{u}, \quad \int u^{1/2}du=\tfrac{2}{3}u^{3/2}.
Assim
I =\Bigl[8\sqrt{u}-\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{3}^{4} =\bigl(16-\tfrac{16}{3}\bigr)-\bigl(8\sqrt{3}-2\sqrt{3}\bigr) =\frac{32}{3}-6\sqrt{3}.
Logo
M=\pi\Bigl(\frac{32}{3}-6\sqrt{3}\Bigr) =\frac{\pi}{3}\,(32-18\sqrt{3}).

Resposta

Área: A=4\pi\,(2-\sqrt{3}).
Massa: M=\displaystyle\frac{\pi}{3}\,(32-18\sqrt{3}).

Exercícios relacionados