Calcule o volume do solido, no primeiro octante, delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pelas superfícies cilindricas z=1-x^2 e x=1-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por
  • os planos ,x=0, ,y=0, ,z=0,
  • o cilindro parabólico ,z=1-x^2,
  • o cilindro parabólico ,x=1-y^2.
    O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas, projetando primeiro no plano xy.

Passo 2

Para projetar no plano xy, usamos as desigualdades
0<= z<= 1-x^2 , 0<= x<= 1-y^2 , 0<= y,
Como x>=0 e x<=1-y^2 exigem 1-y^2>=0, temos 0<= y<=1. Logo a projeção é
D=l(x,y)mid 0<= y<=1,;0<= x<= 1-y^2r

Passo 3

O volume é
V=integral triplaVdV =integraly=0^1integralx=0^,1-y^2integralz=0^,1-x^2dz,dx,dy

Passo 4

Integral em z:
integral0^,1-x^2dz=1-x^2
A integral torna-se
V=integral0^1integral0^,1-y^2l(1-x^2r),dx,dy

Passo 5

Integral em x:
integral0^,1-y^2(1-x^2),dx =l[x-tfracx^33r]0^,1-y^2 =(1-y^2)-tfrac(1-y^2)^33
Assim
V=integral0^1l[(1-y^2)-tfrac(1-y^2)^33r]dy

Passo 6

Dividimos em duas partes:
  1. integral0^1(1-y^2),dy =l[y-tfracy^33r]0^1 =1-tfrac13=tfrac23
  2. integral0^1(1-y^2)^3,dy. Expandindo (1-y^2)^3=1-3y^2+3y^4-y^6 e integrando de 0 a 1
1-!3cdottfrac13+3cdottfrac15-tfrac17 =1-1+tfrac35-tfrac17 =tfrac1635
Portanto
V =23-13cdot1635 =23-16105 =54105 =1835

Resposta

O volume do sólido é 1835.

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