Seja f: R^2 R a função definida por
f(x, y)=c x y^2x^2+y^3, se x^2+y^2 neq 0 0, se (x, y)=(0,0)
(a) calcule o limite de f na origem, ao londo das retas y=m x
(b) calcule o limite de f na origem ao longo da curva y=-x^2 / 3 e^x
(c) investigue a continuidade de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x,y^2x^2+y^3,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede:
(a) limite de f na origem ao longo de retas y=mx,
(b) limite de f na origem ao longo da curva y=-x^2/3e^x,
(c) estudar a continuidade de f.
Vamos usar cálculo de limite por substituição de caminhos e definição de continuidade em duas variáveis.]

Passo 2

Para y=mx com m fixo, substituímos na expressão de f:
f(x,mx) =x,(m x)^2x^2+(m x)^3 =m^2x^3x^2(1+m^3x) =m^2x1+m^3x
Ao fazermos xto0, obtemos
limxto0f(x,mx) =limxto0m^2x1+m^3x =0

Passo 3

Para a curva y=-x^2/3e^x, note que
y^2=x^4/3e^2x, y^3=-x^2e^3x
Logo
fl(x,yr) =x,y^2x^2+y^3 =xcdot x^4/3e^2xx^2-x^2e^3x =x^7/3e^2xx^2(1-e^3x) =x^1/3e^2x1-e^3x
Para xto0 usamos as expansões e^2xapprox1 e 1-e^3xapprox-3x, então
fsimx^1/3-3x =-13,x^-2/3,
que diverge para -infty. Portanto
limxto0fl(x,-x^2/3e^xr)=-infty

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0) com x^2+y^3neq0, f é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua nesses pontos.
Entretanto, em qualquer ponto da curva x^2+y^3=0 (exceto a origem) o denominador anula-se sem anular o numerador, de modo que f não está definida aí (singularidade).
Na origem f(0,0)=0, mas vimos em (b) que por um caminho o valor de f tende a -infty, não a 0. Logo o limite não existe como número finito e f é descontínua em (0,0).

Resposta

(a) 0
(b) diverge para -infty (não há limite finito)
(c) f é contínua em todos os pontos onde x^2+y^3neq0, não está definida na curva x^2+y^3=0 (exceto origem) e é descontínua na origem.

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