(a) calcule o limite de f na origem, ao londo das retas y=m x
(b) calcule o limite de f na origem ao longo da curva y=-x^2 / 3 e^x
(c) investigue a continuidade de f.
e pede:
(a) limite de f na origem ao longo de retas y=mx,
(b) limite de f na origem ao longo da curva y=-x^2/3e^x,
(c) estudar a continuidade de f.
Vamos usar cálculo de limite por substituição de caminhos e definição de continuidade em duas variáveis.]
Passo 2
Para y=mx com m fixo, substituímos na expressão de f:
Para xto0 usamos as expansões e^2xapprox1 e 1-e^3xapprox-3x, então
fsimx^1/3-3x =-13,x^-2/3,
que diverge para -infty. Portanto
limxto0fl(x,-x^2/3e^xr)=-infty
Passo 4
Para (x,y)neq(0,0) com x^2+y^3neq0, f é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua nesses pontos.
Entretanto, em qualquer ponto da curva x^2+y^3=0 (exceto a origem) o denominador anula-se sem anular o numerador, de modo que f não está definida aí (singularidade).
Na origem f(0,0)=0, mas vimos em (b) que por um caminho o valor de f tende a -infty, não a 0. Logo o limite não existe como número finito e f é descontínua em (0,0).
Resposta
(a) 0
(b) diverge para -infty (não há limite finito)
(c) f é contínua em todos os pontos onde x^2+y^3neq0, não está definida na curva x^2+y^3=0 (exceto origem) e é descontínua na origem.