Encontre o centroide da região triangular limitada pelas retas x=2, y=2 e pela hipérbole x y=2 no plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o centroide da região R limitada pelas retas x=2, y=2 e pela hipérbole xy=2. Para encontrar o centroide (bar x,bar y) de uma lamina de densidade uniforme, usamos as fórmulas
bar x = 1Aintegral duplaR x,dA, bar y = 1Aintegral duplaR y,dA,
onde A=integral duplaRdA é a área de R. Vamos então:
  1. descrever R como região de integração em coordenadas cartesianas,
  2. calcular a área A,
  3. calcular as integrais de x e de y,
  4. formar bar x e bar y.

Passo 2

Interseções da hipérbole xy=2 com x=2 dão y=1, e com y=2 dão x=1. Assim R fica para 1<= x<=2 e, para cada x, satisfazendo
2x;<=;y;<=;2
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A = integralx=1^2!integraly=2/x^2 d y,dx

Passo 3

Calcular a área:
A = integral1^2l(2 - tfrac2xr),dx = l[2x - 2ln xr]1^2 = (4 - 2ln2) - (2 - 0) = 2 - 2ln2 = 2l(1-ln2r)

Passo 4

Calcular o momento My=integral duplaR x,dA:
My = integral1^2!integral2/x^2 x,dy,dx = integral1^2 xl(2 - tfrac2xr),dx = integral1^2(2x - 2),dx = l[x^2 - 2xr]1^2 = 0 -(-1) = 1
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bar x = MyA = 12 - 2ln2

Passo 5

Calcular o momento Mx=integral duplaR y,dA:
Mx = integral1^2!integral2/x^2 y,dy,dx = integral1^2 12l(4 - tfrac4x^2r),dx = 12l[4x + 4xr]1^2 = 12,(10 - 8) = 1
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bar y = MxA = 12 - 2ln2

Resposta

l(bar x,bar yr) = l(tfrac12 - 2ln2,,tfrac12 - 2ln2r)

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