Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral dupla
e em seguida inverter a ordem de integração para calcular o valor de
. O conteúdo principal é o Teorema de Fubini (ou mudança de ordem de integração) e depois a avaliação de integrais simples.
Passo 2
Primeiro, descrevemos a região
no plano
:
Esse é o ponto sob o arco de parábola
para
de
a
. Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
:
- O menor valor de
é . - O maior valor de
ocorre em , é .
Para um dado, a condição equivale a , ou seja
Passo 3
Reescrevendo a integral trocando a ordem, temos
Agora calculamos a integral interna em
:
Substituindo em
, o fator
se cancela e sobra
Passo 4
Para completar, basta integrar em
:
Multiplicando pelo
que estava fora, obtemos