Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração da integral dupla
I=integral0^2integral0^4 - x^2x,e^2y4 - y,dy,dx
e em seguida inverter a ordem de integração para calcular o valor de I. O conteúdo principal é o Teorema de Fubini (ou mudança de ordem de integração) e depois a avaliação de integrais simples.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região R no plano xy:
R=l(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= 4 - x^2r
Esse é o ponto sob o arco de parábola y=4 - x^2 para x de 0 a 2. Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y:
  • O menor valor de y é 0.
  • O maior valor de y ocorre em x=0, é 4.
    Para um dado yin[0,4], a condição y<=4-x^2 equivale a x^2<=4-y, ou seja
0<= x<=raiz4-y

Passo 3

Reescrevendo a integral trocando a ordem, temos
I=integraly=0^4integralx=0^raiz4-yx,e^2y4 - y,dx,dy
Agora calculamos a integral interna em x:
integral0^raiz4-yx,dx =12l[x^2r]0^raiz4-y =12(4-y)
Substituindo em I, o fator (4-y)/(4-y) se cancela e sobra
I =integral0^4e^2y4-y,l(tfrac12(4-y)r),dy =12integral0^4e^2y,dy

Passo 4

Para completar, basta integrar em y:
integral0^4e^2y,dy =l[tfrac12e^2yr]0^4 =12l(e^8-1r)
Multiplicando pelo tfrac12 que estava fora, obtemos
I =12cdot12l(e^8-1r) =e^8-14

Resposta

I=e^8-14

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