1. Calcule o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos x=1, x=3, y=0, z=0 e y+z=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em coordenadas cartesianas no primeiro octante, limitado pelos planos x=1, x=3, y=0, z=0 e y+z=3. Para resolver, vamos usar integração tripla em retângulo para x e triângulo para (y,z).

Passo 2

Para cada x fixo entre 1 e 3, a seção transversal no plano yz é dada por
0 \le y \le 3, \quad 0 \le z \le 3 - y.
Logo, as variáveis têm os limites
1 \le x \le 3,\quad 0 \le y \le 3,\quad 0 \le z \le 3 - y.

Passo 3

Montamos o volume como
V = \int_{x=1}^{3}\int_{y=0}^{3}\int_{z=0}^{3 - y}dz\,dy\,dx.
Primeiro integramos em z:
\int_{z=0}^{3 - y}dz = 3 - y.
Então a integral em y vira
\int_{y=0}^{3}(3 - y)\,dy = \Bigl[3y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{3} = 9 - \tfrac{9}{2} = \tfrac{9}{2}.

Passo 4

Como a parte em y,z deu \tfrac{9}{2}, resta integrar em x:
V = \int_{x=1}^{3} \tfrac{9}{2}\,dx = \tfrac{9}{2}\,(3 - 1) = \tfrac{9}{2}\cdot 2 = 9.

Resposta

O volume do sólido é 9.

Exercícios relacionados