Seja
uma superficie e
uma curva regular de
, que bissecta o ângulo formado pelas curvas coordenadas de
. Obtenha as equações diferenciais que devem ser satisfeitas pelas funções
e
, em termos dos coeficientes da primeira forma quadrática de
.
Passo 1
O enunciado: temos uma superfície
com primeira forma quadrática
e uma curva regular na superfície
que bissecta o ângulo entre as curvas coordenadas (as linhas
constante e
constante). Queremos a condição diferencial que
e
satisfazem.
Passo 2
A velocidade da curva é
onde
e
. O ângulo entre
e a curva coordenada
constante (tangente
) satisfaz
e com a outra curva coordenada
constante, tangente
Passo 3
Para bissetriz do ângulo é preciso
, logo
. Calculamos os produtos internos usando os coeficientes da primeira forma:
e as normas
,
.
Passo 4
Igualando os cossenos e eliminando o fator
:
Passo 5
Reorganizando termos, obtemos
Essa é a equação diferencial linear que
e
devem satisfazer.