Seja X(u, v) uma superficie e \alpha(t)=X(u(t), v(t)) uma curva regular de X, que bissecta o ângulo formado pelas curvas coordenadas de X. Obtenha as equações diferenciais que devem ser satisfeitas pelas funções u(t) e v(t), em termos dos coeficientes da primeira forma quadrática de X.

Passo 1

O enunciado: temos uma superfície X(u,v) com primeira forma quadrática
I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2,
e uma curva regular na superfície \alpha(t)=X\bigl(u(t),v(t)\bigr) que bissecta o ângulo entre as curvas coordenadas (as linhas v=constante e u=constante). Queremos a condição diferencial que u(t) e v(t) satisfazem.

Passo 2

A velocidade da curva é
\alpha'(t) \;=\; X_u\,u'(t) \;+\; X_v\,v'(t),
onde X_u = \partial X/\partial u e X_v = \partial X/\partial v. O ângulo entre \alpha' e a curva coordenada v=constante (tangente X_u) satisfaz
\cos\theta_1 = \frac{\langle \alpha',X_u\rangle}{\|\alpha'\|\;\|X_u\|},
e com a outra curva coordenada u=constante, tangente X_v
\cos\theta_2 = \frac{\langle \alpha',X_v\rangle}{\|\alpha'\|\;\|X_v\|}.

Passo 3

Para bissetriz do ângulo é preciso \theta_1=\theta_2, logo \cos\theta_1=\cos\theta_2. Calculamos os produtos internos usando os coeficientes da primeira forma:
\langle \alpha',X_u\rangle = E\,u'(t) + F\,v'(t), \quad \langle \alpha',X_v\rangle = F\,u'(t) + G\,v'(t),
e as normas \|X_u\|=\sqrt{E}, \|X_v\|=\sqrt{G}.

Passo 4

Igualando os cossenos e eliminando o fator \|\alpha'\|:
\frac{E\,u' + F\,v'}{\sqrt{E}} = \frac{F\,u' + G\,v'}{\sqrt{G}} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(E\,u' + F\,v'\bigr)\sqrt{G} = \bigl(F\,u' + G\,v'\bigr)\sqrt{E}.

Passo 5

Reorganizando termos, obtemos
u'\,\bigl(E\sqrt{G} - F\sqrt{E}\bigr) \;+\; v'\,\bigl(F\sqrt{G} - G\sqrt{E}\bigr) \;=\;0.
Essa é a equação diferencial linear que u(t) e v(t) devem satisfazer.

Resposta

\bigl(E\sqrt{G} - F\sqrt{E}\bigr)\,\frac{du}{dt} \;+\; \bigl(F\sqrt{G} - G\sqrt{E}\bigr)\,\frac{dv}{dt} \;=\;0.

Exercícios relacionados