Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=-y.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico do paraboloide elíptico definido por
\frac{x^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = -y
e faz um estudo de seus traços. O conteúdo aqui é superfícies quadráticas, mais precisamente paraboloides elípticos. Para resolver, vamos
  1. reescrever a equação em forma de função,
  2. analisar cortes por planos horizontais y=k,
  3. analisar cortes por planos verticais x=h e z=\ell,
  4. checar os traços nos planos coordenados,
  5. com esses resultados descrever a forma geral e esboçar o gráfico.

Passo 2

Reescrevendo a equação em função de x e z, temos
y = -\Bigl(\frac{x^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9}\Bigr).
Dessa forma vemos que é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo de simetria ao longo do eixo y, abrindo no sentido negativo de y.

Passo 3

Traços em planos horizontais y = k: substituir y=k na equação dá
\frac{x^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = -k.
Para ter pontos reais é preciso -k \ge 0, isto é k \le 0. Definindo c = -k \ge 0, os cortes são
\frac{x^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = c,
que são elipses no plano y=k com semieixos 2\sqrt{c} (na direção x) e 3\sqrt{c} (na direção z). Quando c=0 (ou seja k=0) a elipse se reduz ao ponto (0,0,0).

Passo 4

Traços em planos verticais x = h: fixando x=h, a equação fica
\frac{h^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = -y \quad\Longrightarrow\quad z^{2} = -9\Bigl(y + \tfrac{h^{2}}{4}\Bigr).
Isso descreve, no plano x=h, uma parábola em y e z cujo vértice é \bigl(y=-\tfrac{h^{2}}{4},\,z=0\bigr) e que abre no sentido negativo de y.

Passo 5

Traços em planos verticais z = \ell: fixando z=\ell, a equação vira
\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ell^{2}}{9} = -y \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = -4\Bigl(y + \tfrac{\ell^{2}}{9}\Bigr).
No plano z=\ell temos uma parábola em x e y com vértice em \bigl(x=0,\,y=-\tfrac{\ell^{2}}{9}\bigr) também abrindo para y negativo.

Passo 6

Traços nos planos coordenados:
  • Plano x=0 ( yz-plano): \tfrac{z^{2}}{9}=-y \Rightarrow parábola z^{2}=-9y.
  • Plano z=0 ( xy-plano): \tfrac{x^{2}}{4}=-y \Rightarrow parábola x^{2}=-4y.
  • Plano y=0 ( xz-plano): \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{z^{2}}{9}=0 \Rightarrow apenas o ponto (0,0,0).

Passo 7

Com base nos traços:
  • Cortes y=k\le0 são elipses cuja “tamanho” cresce à medida que k fica mais negativo.
  • Cortes x=h ou z=\ell são parábolas que espelham o perfil do paraboloide abrindo para y negativo.
  • Vértice em (0,0,0), eixo principal ao longo do eixo y, abertura para valores decrescentes de y.
O esboço final é um paraboloide elíptico “de ponta para cima” se olharmos no sentido negativo de y, com secções horizontais elípticas e perfis parabólicos.

Resposta

O gráfico é um paraboloide elíptico de vértice em (0,0,0) com eixo de simetria no eixo y, abrindo no sentido negativo de y. Seus traços em y=k\le0 são elipses \frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=-k e, em planos x=h ou z=\ell, resultam em parábolas que abrem também para y negativo.

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