Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico do paraboloide elíptico definido por
e faz um estudo de seus traços. O conteúdo aqui é superfícies quadráticas, mais precisamente paraboloides elípticos. Para resolver, vamos
- reescrever a equação em forma de função,
- analisar cortes por planos horizontais
, - analisar cortes por planos verticais
e , - checar os traços nos planos coordenados,
- com esses resultados descrever a forma geral e esboçar o gráfico.
Passo 2
Reescrevendo a equação em função de
e
, temos
Dessa forma vemos que é um paraboloide elíptico com vértice em
e eixo de simetria ao longo do eixo
, abrindo no sentido negativo de
.
Passo 3
Traços em planos horizontais
: substituir
na equação dá
Para ter pontos reais é preciso
, isto é
. Definindo
, os cortes são
que são elipses no plano
com semieixos
(na direção
) e
(na direção
). Quando
(ou seja
) a elipse se reduz ao ponto
.
Passo 4
Traços em planos verticais
: fixando
, a equação fica
Isso descreve, no plano
, uma parábola em
e
cujo vértice é
e que abre no sentido negativo de
.
Passo 5
Traços em planos verticais
: fixando
, a equação vira
No plano
temos uma parábola em
e
com vértice em
também abrindo para
negativo.
Passo 6
Traços nos planos coordenados:
- Plano
( -plano): parábola . - Plano
( -plano): parábola . - Plano
( -plano): apenas o ponto .
Passo 7
Com base nos traços:
- Cortes
são elipses cuja “tamanho” cresce à medida que fica mais negativo. - Cortes
ou são parábolas que espelham o perfil do paraboloide abrindo para negativo. - Vértice em
, eixo principal ao longo do eixo , abertura para valores decrescentes de .
O esboço final é um paraboloide elíptico “de ponta para cima” se olharmos no sentido negativo de
, com secções horizontais elípticas e perfis parabólicos.
Resposta
O gráfico é um paraboloide elíptico de vértice em
com eixo de simetria no eixo
, abrindo no sentido negativo de
. Seus traços em
são elipses
e, em planos
ou
, resultam em parábolas que abrem também para
negativo.