Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico do hiperboloide de uma folha dado por
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1,
fazendo um estudo dos traços (seções) desse tipo de superfície quádrupla. Vamos usar o método de traços em planos coordenados constantes e depois dar uma parametrização que ajude na visualização.

Passo 2

Traços em planos z = z_{0}.
Fixando z=z_{0} na equação, obtemos
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4} =1+\frac{z_{0}^{2}}{9}.
Como o lado direito é sempre maior que 1, isso define uma elipse para cada z_{0}. Em particular, no plano z=0 obtemos
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1,
uma elipse de semieixos 4 em x e 2 em y.

Passo 3

Traços em planos x = x_{0}.
Fixando x=x_{0}, a equação vira
\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9} =1-\frac{x_{0}^{2}}{16}.
Definimos R = 1-\frac{x_{0}^{2}}{16}.
  • Se \lvert x_{0}\rvert<4, então R>0 e a seção é uma hipérbole no plano x=x_{0}.
  • Se \lvert x_{0}\rvert=4, então R=0 e a seção degenera em duas retas.
  • Se \lvert x_{0}\rvert>4, não há pontos reais.

Passo 4

Traços em planos y = y_{0}.
Fixando y=y_{0}, obtemos
\frac{x^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{9} =1-\frac{y_{0}^{2}}{4}.
Chamando S=1-\frac{y_{0}^{2}}{4}, analogamente:
  • Para \lvert y_{0}\rvert<2, S>0 e temos hipérboles no plano y=y_{0}.
  • Para \lvert y_{0}\rvert=2, seção degenerada em dois ramos de reta.
  • Para \lvert y_{0}\rvert>2, vazio.

Passo 5

Parametrização do hiperboloide.
Uma forma padrão de parametrizar esse tipo de superfície é usar coordenadas mistas de cosseno hiperbólico e trigonométrico:
\begin{cases} x = 4 \operatorname{cosh} u \,\cos v,\\[6pt] y = 2 \operatorname{cosh} u \,\sin v,\\[6pt] z = 3 \operatorname{sinh} u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R},\;v\in[0,2\pi).
Para cada u fixo, z é constante e (x,y) percorrem uma elipse; varrendo u obtém-se toda a folha única estendida nos dois sentidos de z.]

Passo 6

Descrição final do gráfico.
  • O hiperboloide é de uma folha (não dias).
  • As seções horizontais ( z= const) são elipses de semieixos \bigl(4\sqrt{1+z^{2}/9},\,2\sqrt{1+z^{2}/9}\bigr).
  • As seções verticais nos planos x= const ou y= const são hipérboles que aparecem enquanto os constantes satisfazem as condições de existência.
  • É simétrico em relação aos três planos coordenados.

Resposta

O gráfico é um hiperboloide de uma folha centrado na origem, com elipses horizontais e hipérboles nos cortes verticais, que pode ser parametrizado por
\begin{cases} x = 4 \operatorname{cosh} u \,\cos v,\\\ y = 2 \operatorname{cosh} u \,\sin v,\\\ z = 3 \operatorname{sinh} u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R},\;v\in[0,2\pi).

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