Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços. \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico do hiperboloide de uma folha dado por
fazendo um estudo dos traços (seções) desse tipo de superfície quádrupla. Vamos usar o método de traços em planos coordenados constantes e depois dar uma parametrização que ajude na visualização.
Passo 2
Traços em planos z = z_{0}.
Fixando z=z_{0} na equação, obtemos
Para \lvert y_{0}\rvert<2, S>0 e temos hipérboles no plano y=y_{0}.
Para \lvert y_{0}\rvert=2, seção degenerada em dois ramos de reta.
Para \lvert y_{0}\rvert>2, vazio.
Passo 5
Parametrização do hiperboloide.
Uma forma padrão de parametrizar esse tipo de superfície é usar coordenadas mistas de cosseno hiperbólico e trigonométrico:
\begin{cases} x = 4 \operatorname{cosh} u \,\cos v,\\[6pt] y = 2 \operatorname{cosh} u \,\sin v,\\[6pt] z = 3 \operatorname{sinh} u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R},\;v\in[0,2\pi).
Para cada u fixo, z é constante e (x,y) percorrem uma elipse; varrendo u obtém-se toda a folha única estendida nos dois sentidos de z.]
Passo 6
Descrição final do gráfico.
O hiperboloide é de uma folha (não dias).
As seções horizontais (z= const) são elipses de semieixos \bigl(4\sqrt{1+z^{2}/9},\,2\sqrt{1+z^{2}/9}\bigr).
As seções verticais nos planos x= const ou y= const são hipérboles que aparecem enquanto os constantes satisfazem as condições de existência.
É simétrico em relação aos três planos coordenados.
Resposta
O gráfico é um hiperboloide de uma folha centrado na origem, com elipses horizontais e hipérboles nos cortes verticais, que pode ser parametrizado por
\begin{cases} x = 4 \operatorname{cosh} u \,\cos v,\\\ y = 2 \operatorname{cosh} u \,\sin v,\\\ z = 3 \operatorname{sinh} u, \end{cases} \quad u\in\mathbb{R},\;v\in[0,2\pi).