Considere a equação diferencial
x * y'' - (x + n) * y' + n * y = 0
Mostre que y1 = e^x é solução da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
O que a gente precisa mostrar é que é uma solução dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas, e substituir na equação para ver se ela realmente satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de .
A primeira derivada de em relação a é:
Já a segunda derivada é:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Agora, observamos que e . Portanto, tudo se cancela:

Resposta

Como a substituição resultou em uma igualdade verdadeira, é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

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