Determine o intervalo de convergência das séries de potências: sumn=1^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve entender um pouco sobre séries de potências e como determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita onde cada termo é uma potência de . No nosso caso, temos . Para encontrar o intervalo de convergência, que são os valores de para os quais a série dá um resultado finito, usamos o Teste da Razão ou Teste da Raiz. Aqui, vou usar o Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = (-1)^(n+1)+1 x^n+1(-1)^n+1 x^n = (-1)^n+2 cdot x cdot 1(-1)^n+1 = (-1)^1 cdot x = -x . Vamos calcular:
Tomando o valor absoluto:
| an+1an | = | -x | = |x|

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty |x| = |x|
Para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que a série converge para todos os valores de tais que a distância de para 0 é menor que 1, ou seja, .

Passo 5

Precisamos verificar o que acontece nos extremos sumn=1^infty(-1)^n+1 (1)^n = sumn=1^infty(-1)^n+1 e sumn=1^infty(-1)^n+1 (-1)^n = sumn=1^infty(-1)^2n+1 = sumn=1^infty(-1) .
  • Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada, já que os termos tendem a zero.
  • Para :
A série fica:
Essa série não converge, pois soma infinitos , o que resulta em divergência.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados