Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando-se a regiăo entre a curva y=x, a curva y=12-x^2, com x >= 0 e a curva x=7, em torno de (não resolva a integral):
Reta .

Passo 1

Resumo do problema: Queremos o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=7 a região no plano limitada pelas curvas sigma(t)=(t^2,4t^2) (que é o gráfico de y=4x para x>=0), pela reta y=x e pela parábola y=12-x^2, com x>=0. Vamos usar o método dos casquilhos cilíndricos (cylindrical shells).

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção das três curvas:
  • y=4x e y=x se cruzam em x=0.
  • y=4x e y=12-x^2 se cruzam resolvendo 4x=12-x^2, o que dá x=2.
  • y=x e y=12-x^2 se cruzam resolvendo x=12-x^2, o que dá x=3.

Passo 3

Para cada valor de x entre 0 e 3, o segmento vertical que gera o casquilho vai de um limite inferior yrm inf(x) a um limite superior yrm sup(x):
  • Para 0<= x<=2, temos yrm inf(x)=x e yrm sup(x)=4x.
  • Para 2<= x<=3, temos yrm inf(x)=x e yrm sup(x)=12-x^2.

Passo 4

O raio do casquilho em um dado x é a distância até a reta x=7, ou seja R(x)=7-x, e a altura do casquilho é yrm sup(x)-yrm inf(x).

Passo 5

Montamos o volume somando os casquilhos em dois intervalos de x:
Mountar a integral de volume:
V = 2pi integral0^2 (7 - x)l(4x - xr),dx + 2pi integral2^3 (7 - x)l((12 - x^2) - xr),dx

Resposta

V = 2pi integral0^2 (7 - x)(3x),dx + 2pi integral2^3 (7 - x)(12 - x^2 - x),dx

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