Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando-se a regiăo entre a curva y=x, a curva y=12-x^2, com x >= 0 e a curva y, em torno de (não resolva a integral):
Eixo .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido de revolução gerado ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas sigma(t)=(t^2,4t^2), y=x e y=12-x^2, com x>=0. O conteúdo envolve método dos cascos cilíndricos para sólidos de revolução.

Passo 2

A curva sigma(t)=(t^2,4t^2) pode ser escrita explicitamente como y=4x para x=t^2>=0. Assim, as três fronteiras são y=x, y=4x e y=12-x^2.

Passo 3

Para determinar os limites em x, achamos as interseções:
y=x com y=4x em x=0.
y=4x com y=12-x^2 em 4x=12-x^2 que dá x=2.
y=x com y=12-x^2 em x=12-x^2 que dá x=3.

Passo 4

Como as curvas mudam quem é topo/fundo, dividimos a integral em dois trechos: de x=0 a 2 a região está entre y=x (fundo) e y=4x (topo); de x=2 a 3 fica entre y=x (fundo) e y=12-x^2 (topo).

Passo 5

Usando o método dos cascos cilíndricos, o volume vale V=2piintegrala^b (raio)(a, onde o raio é x e a altura é a diferença das curvas em y.

Passo 6

Logo, montamos a integral sem resolvê-la:
V=2piintegral0^2xl[(4x)-xr],dx ;+ 2piintegral2^3xl[(12-x^2)-xr],dx

Resposta

V=2piintegral0^2xl(4x - xr),dx +2piintegral2^3xl((12-x^2)-xr),dx

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