Calcule o volume do sólido S em cada caso.
S é o sólido limitado inferiormente pelo plano z=-4+x+2 y e acima pelo retângulo [0,1] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que, para cada (x,y) em R=[0,1]times[0,1], fica entre o plano inferior
zinf=-4+x+2y
e o plano superior
zsup=0
O método é usar integral dupla para calcular
V=integral duplaRl(zsup-zinfr),dA

Passo 2

Escrevendo a integral de volume, obtemos
V=integral duplaRl(0-(-4+x+2y)r),dA =integral duplaR(4 - x - 2y),dx,dy

Passo 3

Primeiro integramos em x de 0 a 1, tratando y como constante:
integral0^1(4 - x - 2y),dx =l[4x - tfracx^22 -2y,xr]0^1 =4 - tfrac12 - 2y =tfrac72 -2y

Passo 4

Agora integramos o resultado em y de 0 a 1:
integral0^1l(tfrac72 -2yr),dy =l[tfrac72,y - y^2r]0^1 =tfrac72 -1 =tfrac52

Resposta

V=tfrac52

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