Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x+y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tetraedro que é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano x + y + z = 2 . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Imagine que você quer calcular o volume de um objeto em 3D. A integral tripla nos ajuda a somar um montão de pequenas “caixinhas” de volume ao longo das três dimensões (x, y e z) para encontrar o volume total desse objeto.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Nosso tetraedro está limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x + y + z = 2 . Isso significa que x, y e z vão variar de 0 até algum valor que satisfaça a equação do plano.

Passo 4

Vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar em relação a z primeiro, depois y e por último x. Para cada valor de x e y, z vai de 0 até 2 - x - y (obtido rearranjando a equação do plano x + y + z = 2 ).

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla:
V = integralx=0^2 integraly=0^2 - x integralz=0^2 - x - y dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^2 - x - y dz = (2 - x - y) - 0 = 2 - x - y
Agora, substituímos isso na integral e integramos em relação a y:
integral0^2 - x (2 - x - y) dy = [ (2 - x)y - 12y^2 ]0^2 - x = (2 - x)(2 - x) - 12(2 - x)^2
= (2 - x)^2 - 12(2 - x)^2 = 12(2 - x)^2
Por fim, integramos em relação a x:
integral0^2 12(2 - x)^2 dx = 12 integral0^2 (2 - x)^2 dx
Fazendo a substituição u = 2 - x , du = -dx , os limites mudam para u=2 quando x=0 e u=0 quando x=2 :
12 integral2^0 u^2 (-du) = 12 integral0^2 u^2 du = 12 [ u^33 ]0^2 = 12 ( 83 - 0 ) = 43

Resposta

O volume do tetraedro é 43 unidades cúbicas.

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