Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tetraedro que é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano
. Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Imagine que você quer calcular o volume de um objeto em 3D. A integral tripla nos ajuda a somar um montão de pequenas “caixinhas” de volume ao longo das três dimensões (x, y e z) para encontrar o volume total desse objeto.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração. Nosso tetraedro está limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e
. Isso significa que x, y e z vão variar de 0 até algum valor que satisfaça a equação do plano.
Passo 4
Vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar em relação a z primeiro, depois y e por último x. Para cada valor de x e y, z vai de 0 até
(obtido rearranjando a equação do plano
).
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a z:
Agora, substituímos isso na integral e integramos em relação a y:
Por fim, integramos em relação a x:
Fazendo a substituição
,
, os limites mudam para
quando
e
quando
:
Resposta
O volume do tetraedro é
unidades cúbicas.