Considere a superfície do paraboloide de equação
.
a) Encontre uma equação do plano tangente ao paraboloide no ponto
.
b) Esse paraboloide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo
, de tal modo que esta fique tangente à superfície em
. Calcule o comprimento da viga.
a) Encontre uma equação do plano tangente ao paraboloide no ponto
b) Esse paraboloide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo
Passo 1
O enunciado dá o paraboloide
e pede (a) o plano tangente em
, e (b) o comprimento de uma viga que é uma reta presa ao eixo
e tangente ao paraboloide em
.
Conteúdo usado: derivadas parciais para achar o plano tangente, e geometria analítica para achar a reta de apoio e sua distância.
Conteúdo usado: derivadas parciais para achar o plano tangente, e geometria analítica para achar a reta de apoio e sua distância.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Em
isso dá
Logo, a equação do plano tangente é
Passo 3
A viga está presa ao eixo
, ou seja, contida no plano vertical que passa por
e pelo eixo
. Esse plano tem norma dada por
logo sua equação é
Passo 4
A reta de apoio é a interseção do plano tangente
com o plano vertical
. De
vem
. Substituindo em
:
Parametrizando por
, a reta é
Em particular, em
recuperamos
, e em
ela corta o eixo
no ponto
Passo 5
O comprimento da viga é a distância de
a
:
Resposta
(a) O plano tangente é
(b) O comprimento da viga é
.