Considere a superfície do paraboloide de equação z=x^29+y^225.
a) Encontre uma equação do plano tangente ao paraboloide no ponto P0=(6,10,8).
b) Esse paraboloide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo z, de tal modo que esta fique tangente à superfície em P0. Calcule o comprimento da viga.

Passo 1

O enunciado dá o paraboloide
z = x^29 + y^225
e pede (a) o plano tangente em P0=(6,10,8), e (b) o comprimento de uma viga que é uma reta presa ao eixo z e tangente ao paraboloide em P0.
Conteúdo usado: derivadas parciais para achar o plano tangente, e geometria analítica para achar a reta de apoio e sua distância.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial zpartial x = 2x9, partial zpartial y = 2y25
Em P0=(6,10,8) isso dá
zx(6,10)=tfrac2cdot69=tfrac43, zy(6,10)=tfrac2cdot1025=tfrac45
Logo, a equação do plano tangente é
z - 8 = 43(x - 6) + 45(y - 10)

Passo 3

A viga está presa ao eixo z, ou seja, contida no plano vertical que passa por P0 e pelo eixo z. Esse plano tem norma dada por
(6,10,8)times(0,0,1) = (10,-6,0),
logo sua equação é
10x - 6y = 0 Longrightarrow 5x - 3y = 0

Passo 4

A reta de apoio é a interseção do plano tangente
z - 8 = 43(x - 6) + 45(y - 10)
com o plano vertical 5x-3y=0. De 5x-3y=0 vem y=tfrac53x. Substituindo em z:
z = 8 + 43(x-6) + 45l(tfrac53x -10r) = 83x -8
Parametrizando por x=t, a reta é
l(x(t),y(t),z(t)r) =l(t,;tfrac53t,;tfrac83t -8r)
Em particular, em t=6 recuperamos P0, e em t=0 ela corta o eixo z no ponto
A=(0,0,-8)

Passo 5

O comprimento da viga é a distância de A=(0,0,-8) a P0=(6,10,8):
dist(A,P0) = raiz(6-0)^2 + (10-0)^2 + (8-(-8))^2 = raiz36 + 100 + 256 = raiz392 = 14raiz2

Resposta

(a) O plano tangente é
z - 8 = 43(x - 6) + 45(y - 10)
(b) O comprimento da viga é 14raiz2.

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