Calcule o volume do sólido situado abaixo do gráfico da função f(x, y)=12+y+x^2 e acima da região R=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do gráfico de
f(x,y) = 12 + y + x^2
e acima da região
R = (x,y)inR^2 mid 0 <= x <= 1,; x^2 <= y <= raizx
O método é usar um duplo integral de f(x,y) sobre R:
V = integral duplaR f(x,y),dA

Passo 2

Como a região R é descrita por 0<= x<=1 e x^2<= y<=raizx, escrevemos
V = integralx=0^1integraly=x^2^raizx l(12 + y + x^2r),dy,dx

Passo 3

Calcular primeiro a integral interna em y:
integraly=x^2^raizx l(12 + y + x^2r),dy = (12 + x^2)l(raizx - x^2r) + integralx^2^raizx y,dy
E
integralx^2^raizx y,dy = (raizx)^2 - (x^2)^22 = x - x^42
Logo a integral interna é
(12 + x^2)l(raizx - x^2r) + x - x^42

Passo 4

Expandindo e juntando termos, obtemos o integrando em x:
12x^tfrac12 - 12x^2 + x^tfrac52 - x^4 + x2 - x^42 = 12x^tfrac12 + x2 - 12x^2 + x^tfrac52 - 3x^42
Assim
V = integral0^1!l(12x^tfrac12 + tfrac12x -12x^2 + x^tfrac52 - tfrac32x^4r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^112x^tfrac12,dx = 12cdot23=8,
integral0^1x2,dx = 12cdot12=14,
integral0^1-12x^2,dx = -12cdot13=-4,
integral0^1x^tfrac52,dx = 1tfrac52+1 = 27,
integral0^1-32x^4,dx = -32cdot15 = -310

Passo 6

Somando tudo:
8 + 14 - 4 + 27 - 310 = 4 + l(14 + 27 - 310r) = 4 + 33140 = 593140

Resposta

O volume do sólido é 593140.

Exercícios relacionados