Por fim, escreva a equação da cônica.
r=2,51-1,5 cos theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever a equação da cônica a partir da equação polar dada: r = 2,51 - 1,5 cos theta . Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente transformando a equação de coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar das relações que conectam as coordenadas polares (r, theta) com as cartesianas (x, y):
x = r cos theta e y = r sin theta

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 - 1,5 cos theta para simplificar:
r (1 - 1,5 cos theta) = 2,5
r - 1,5 r cos theta = 2,5

Passo 3

Sabemos que x = r cos theta. Vamos substituir isso na equação:
r - 1,5 x = 2,5
Agora, isolamos r:
r = 2,5 + 1,5 x

Passo 4

Também sabemos que r = raizx^2 + y^2. Vamos substituir isso na equação que encontramos:
raizx^2 + y^2 = 2,5 + 1,5 x

Passo 5

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = (2,5 + 1,5 x)^2
x^2 + y^2 = 6,25 + 7,5 x + 2,25 x^2

Passo 6

Vamos reunir todos os termos em um lado da equação para simplificar:
x^2 + y^2 - 6,25 - 7,5 x - 2,25 x^2 = 0
-1,25 x^2 + y^2 - 7,5 x - 6,25 = 0

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por -1 para facilitar a visualização:
1,25 x^2 - y^2 + 7,5 x + 6,25 = 0

Passo 8

Agora, podemos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma hipérbole:
1,25 x^2 + 7,5 x - y^2 + 6,25 = 0
Para simplificar, dividimos todos os termos por 1,25:
x^2 + 6 x - y^21,25 + 5 = 0

Resposta

A equação da cônica em coordenadas cartesianas é:
x^2 + 6x - y^21,25 + 5 = 0

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