Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integraly^1 x^2e^xy,dx,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla e técnicas de substituição em integrais simples.

Passo 2

Descrevemos o domínio R por
0<= y<=1, y<= x<=1
Para inverter a ordem, fixamos x primeiro: x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até x.

Passo 3

Troca a ordem e reescreve-se a integral como
integralx=0^1integraly=0^x x^2e^xy,dy,dx

Passo 4

Calcule a integral interna em y. Como x é constante,
integral0^x e^xy,dy =[1xe^xy]0^x =e^x^2-1x
Multiplicando por x^2
x^2cdote^x^2-1x = xl(e^x^2-1r)
Logo a integral total vira
I=integral0^1xl(e^x^2-1r),dx

Passo 5

Separe em duas partes:
integral0^1x e^x^2,dx ;-;integral0^1x,dx
Para a primeira, use u=x^2, du=2x,dx:
integral0^1x e^x^2,dx =tfrac12integral0^1e^u,du =tfrace-12
A segunda é
integral0^1x,dx =[tfracx^22]0^1 =tfrac12
Assim
I=e-12-12 =e-22

Resposta

e-22

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