Considere a equação polar r=e d1+e cos theta de uma cônica com seu foco no polo e excentricidade e, onde e>0 e d>0. Diga qual é a equação da diretriz.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação polar de uma cônica com foco na origem e excentricidade e>0 e parâmetro d>0:
r = e,d1 + ecostheta
Pede-se a equação da diretriz. Vamos usar a definição de cônica como o lugar geométrico dos pontos cujo quociente entre a distância ao foco ( PF) e a distância à diretriz ( PD) é constante e igual a e:
PFPD = e

Passo 2

Suponha que a diretriz seja a reta vertical
x = k,
em coordenadas cartesianas. Para um ponto genérico (r,theta) em coordenadas polares, temos
PF = r,
e a distância à reta x=k é
PD = lvert x - krvert = lvert rcostheta - krvert
Considerando os pontos para os quais rcostheta<k, podemos escrever
PD = k - rcostheta

Passo 3

Pela definição da cônica,
PFPD = e Longrightarrow r,k - rcostheta, = e Longrightarrow r = el(k - rcosthetar)
Distribuindo,
r = e,k - e,rcostheta Longrightarrow r + e,rcostheta = e,k Longrightarrow rl(1 + ecosthetar) = e,k Longrightarrow r = e,k1 + ecostheta
Comparando com a equação dada r = tfrace,d1 + ecostheta, concluímos que k = d.

Resposta

A diretriz é a reta vertical
x = d,
ou, em coordenadas polares,
rcostheta = d

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