Calcule o volume do sólido E usando coordenadas polares:
E é o sólido dentro de
.
E é o sólido dentro de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
definido por
ou seja, a bola unitária. O conteúdo aqui é cálculo de volume usando coordenadas polares no plano
(ou coordenadas cilíndricas sem a parte de rotação em
). Vamos parametrizar
onde
e
, e usar o elemento de volume
Passo 2
Para cada par
fixo, a coordenada
varia entre as “paredes” da esfera, isto é,
Logo podemos escrever o volume como o integral triplo
Passo 3
Integramos primeiro em
. Como o integrando é
, que independe de
,
Substituindo de volta, fica
Passo 4
Agora integramos em
. Façamos
, então
. Quando
tem-se
e quando
tem-se
. Assim
Portanto
Passo 5
A integral em
é imediata: