Calcule o volume do sólido E usando coordenadas polares:
E é o sólido dentro de x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E definido por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1,
ou seja, a bola unitária. O conteúdo aqui é cálculo de volume usando coordenadas polares no plano xy (ou coordenadas cilíndricas sem a parte de rotação em z). Vamos parametrizar
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi, e usar o elemento de volume
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Para cada par (r,\theta) fixo, a coordenada z varia entre as “paredes” da esfera, isto é,
-\sqrt{1-r^{2}}\;\le\;z\;\le\;\sqrt{1-r^{2}}.
Logo podemos escrever o volume como o integral triplo
V =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-\sqrt{1-r^{2}}}^{\sqrt{1-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z. Como o integrando é r, que independe de z,
\int_{z=-\sqrt{1-r^{2}}}^{\sqrt{1-r^{2}}}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{-\sqrt{1-r^{2}}}^{\sqrt{1-r^{2}}} = r\bigl(2\sqrt{1-r^{2}}\bigr) =2\,r\sqrt{1-r^{2}}.
Substituindo de volta, fica
V =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}2\,r\sqrt{1-r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em r. Façamos u=1-r^{2}, então du=-2r\,dr. Quando r=0 tem-se u=1 e quando r=1 tem-se u=0. Assim
\int_{0}^{1}2\,r\sqrt{1-r^{2}}\,dr =\int_{u=1}^{0}\sqrt{u}\,(-du) =\int_{0}^{1}u^{1/2}\,du =\left[\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{3}.
Portanto
V =\int_{0}^{2\pi}\frac{2}{3}\,d\theta.

Passo 5

A integral em \theta é imediata:
V =\frac{2}{3}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{2}{3}\cdot2\pi =\frac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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