Uma determinada fábrica na Zona Franca de Manaus tem uma linha de montagem para fabricar um novo telefone celular. A taxa de produção desses celulares após t semanas é
\frac{d x}{d t}=4000\left(1-100 \frac{1}{(t+10)^{2}}\right) \text { aparelhos celulares/semana }
Determine o número de celulares produzidos do começo da terceira semana até o final da sexta semana,
Obs.1: note que a taxa de produção tende a 4000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.
Obs. 2: o período do começo da terceira semana até o final da sexta semana corresponde a 3 \leq t \leq 7 ? Ou a 3 \leq t \leq 6 ? Ou a 2 \leq t \leq 6 ? Ou a 2 \leq t \leq 7 ? Pense cuidadosamente sobre isto (veja a Dica 3)
Dica 3: de fato a Semana 1 corresponde a 0 \leq t \leq 1, a Semana 2 a 1 \leq t \leq 2, etc
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2*In(10) +3^{*} pi ^{*}(9-\exp (2))-3^{*} sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de produção
\frac{dx}{dt}=4000\Bigl(1-100\frac{1}{(t+10)^{2}}\Bigr)
em aparelhos por semana e pede o total produzido do começo da 3ª semana ao fim da 6ª semana. Como a semana n corresponde a (n-1)\le t\le n, o intervalo de interesse é
2\le t\le 6.

Passo 2

O número total de aparelhos é dado pela integral
\int_{2}^{6}\frac{dx}{dt}\,dt.

Passo 3

Para integrar, separamos os termos:
\int 4000\Bigl(1-100(t+10)^{-2}\Bigr)\,dt =4000\int dt-400000\int (t+10)^{-2}dt.
Calculando,
4000\int dt=4000t, \quad -400000\int (t+10)^{-2}dt =400000\,(t+10)^{-1}.
Logo, uma antiderivada é
F(t)=4000t+\frac{400000}{t+10}.

Passo 4

Avaliar F em t=6 e t=2:
F(6)=4000\cdot6+\frac{400000}{6+10} =24000+25000=49000,
F(2)=4000\cdot2+\frac{400000}{2+10} =8000+33333.3333=41333.3333.

Passo 5

O total produzido é
F(6)-F(2)=49000-41333.3333=7666.6667.

Resposta

7666.6667 aparelhos celulares

Exercícios relacionados