Mostre que
\int \cos ^{2}(3 x) d x=\frac{1}{2} x+\frac{1}{12} \operatorname{sen}(6 x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função trigonométrica \cos^{2}(3x).
Conteúdo: integração de funções trigonométricas usando a fórmula de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência
\cos^{2}(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}
com \theta = 3x. Assim,
\cos^{2}(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral e integrando termo a termo, temos
\int \cos^{2}(3x)\,dx = \int \frac{1}{2}\,dx + \int \frac{\cos(6x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx + \frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx.
Agora,
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{x}{2} \quad\text{e}\quad \frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(6x)}{6} = \frac{\sin(6x)}{12}.
Somando e incorporando a constante C, resulta
\int \cos^{2}(3x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(6x)}{12} + C.

Resposta

\int \cos^{2}(3x)\,dx = \frac{1}{2}\,x + \frac{1}{12}\,\sin(6x) + C.

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