Mostre que
\int \cos ^{4}(2 x) \operatorname{sen}^{3}(2 x) d x=-\frac{1}{10} \cos ^{5}(2 x)+\frac{1}{14} \cos ^{7}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x)\,dx
usando técnicas de substituição. Vamos usar a substituição u=\cos(2x), pois sua derivada envolve \sin(2x)\,dx.

Passo 2

Observe que \sin^{3}(2x)=\sin^{2}(2x)\,\sin(2x) e que
\sin^{2}(2x)=1-\cos^{2}(2x)=1-u^{2}.
Além disso, derivando u=\cos(2x) obtemos
du=-2\sin(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x)\,dx =\int u^{4}\,(1-u^{2})\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) =-\tfrac{1}{2}\int\bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 3

Agora integramos o polinômio em u:
-\tfrac{1}{2}\int\bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du =-\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\Bigr) =-\frac{u^{5}}{10}+\frac{u^{7}}{14}+C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=\cos(2x). Logo,
\int \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x)\,dx =-\frac{\cos^{5}(2x)}{10}+\frac{\cos^{7}(2x)}{14}+C.

Resposta

\int \cos^{4}(2x)\,\sin^{3}(2x)\,dx =-\frac{1}{10}\cos^{5}(2x)+\frac{1}{14}\cos^{7}(2x)+C.

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