Resolva os problemas abaixo.
a) Calcule a massa do sólido , supondo que a densidade no ponto é proporcional à distância desse ponto ao plano .
b) Calcule a massa do cone , sendo a densidade no ponto ( ) proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
c) Seja . Se a densidade no ponto é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano , determine a massa e o centro de massa de .
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro e abaixo da esfera . A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano .
e) Calcule o momento de inércia do corpo homogêneo , em relação ao eixo .
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo e , em relação a um eixo que contém uma das arestas.
g) Determine o centro de massa de uma semi-esfera, cuja densidade no ponto é proporcional à distância de ao centro.
h) Seja um ponto interior de B. Para cada natural , seja uma bola de centro e raio , com . Suponha que quando . Seja o volume de . Prove que
Passo 1
No item (a) queremos a massa do sólido
com densidade no ponto proporcional à distância ao plano , isto é, . Como o sólido é a parte da esfera de raio 1 acima do cone , usamos coordenadas esféricas:
com , e .
Passo 2
Escrevemos a integral da massa
Integramos em :
em : dá fator , e em :
Logo
Passo 3
No item (b) o sólido é o cone
com densidade proporcional ao quadrado da distância ao eixo , isto é, . Em coordenadas cilíndricas o volume é .
Passo 4
A massa é
Passo 5
No item (c), definimos em cilíndricas . O domínio é
e a densidade . Simetria garante . Precisamos de
e então .
Passo 6
Calculando
Logo
Passo 7
No item (d) o sólido é no primeiro octante, em cilíndricas com , , , densidade . Portanto
Passo 8
No item (e) o corpo é o tetraedro
densidade constante. O momento em relação a é
numa integral tripla em coordenadas cartesianas. Fazendo as integrais em obtemos
Passo 9
No item (f) o cubo unitário tem arestas paralelas aos eixos. Um eixo que contém a aresta de vértices é o próprio eixo . O momento de inércia homogêneo é
Passo 10
No item (g) temos uma semiesfera de raio , densidade (proporcional à distância ao centro). Em esféricas sobre calcula-se
e .
Passo 11
No item (h) pede a propriedade de continuidade e média de uma função contínua sobre bolas que encolhem ao ponto . A demonstração usa que, dada , há tal que implica . Para grande, cabe nessa bola de raio , e então
Isso mostra o limite pedido.
Resposta
a) Ma=pi k8
b) Mb=pi k10
c) Mc=9pi k,(xcm,ycm,zcm)=(0,0,tfrac94)
d) Md=10pi k
e) Ie=51215
f) If=23
g) Mg=pi k R^42,(xcm,ycm,zcm)=(0,0,tfrac2R5)
h) limntoinfty1Vnintegral triplaBnf=f(x0,y0,z0).