Resolva os problemas abaixo.
a) Calcule a massa do sólido x^2+y^2+z^2 <= 1 e z >= raizx^2+y^2, supondo que a densidade no ponto (x, y, z) é proporcional à distância desse ponto ao plano x y.
b) Calcule a massa do cone raizx^2+y^2 <= z <= 1, sendo a densidade no ponto ( x, y, z ) proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo z.
c) Seja D=(x, y, z) in R^3 ; 1 <= z <= 5-x^2-y^2, x^2+y^1 >= 1. Se a densidade no ponto P=(x, y, z) in D é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano x y, determine a massa e o centro de massa de D.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro x^2+y^2=4 x e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2 <= 16. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano x y.
e) Calcule o momento de inércia do corpo homogêneo x+y+z <= 4, x >= 0, y >= 0 e z >= 0, em relação ao eixo z.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1, em relação a um eixo que contém uma das arestas.
g) Determine o centro de massa de uma semi-esfera, cuja densidade no ponto P é proporcional à distância de P ao centro.
h) Seja (xo, yo, zo) um ponto interior de B. Para cada natural n, seja Bn uma bola de centro (xo, yo, zo) e raio rn, com Bn subset B. Suponha que rn 0 quando n +infty. Seja Vn o volume de Bn. Prove que
lim n +infty 1Vn integral triplaBn f(x, y, z) d x d y d z=f(xo, yo, zo)

Passo 1

No item (a) queremos a massa do sólido
x^2+y^2+z^2<=1, z>=raizx^2+y^2,
com densidade no ponto (x,y,z) proporcional à distância ao plano xy, isto é, rho=k,z. Como o sólido é a parte da esfera de raio 1 acima do cone z=r, usamos coordenadas esféricas:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rhoin[0,1], thetain[0,2pi] e phiin[0,pi/4].

Passo 2

Escrevemos a integral da massa
Ma=integral tripla rho(x,y,z),dV =integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral0^1 l(k,rhocosphir),l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta
Integramos em rho:
integral0^1rho^3,drho=tfrac14,
em theta: dá fator 2pi, e em phi:
integral0^pi/4cosphisinphi,dphi =tfrac12integral0^pi/4sin2phi,dphi =tfrac12l[tfrac-12cos2phir]0^pi/4 =tfrac14
Logo
Ma=2pi,k,tfrac14,tfrac14=pi k8

Passo 3

No item (b) o sólido é o cone
r<= z<=1, 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,
com densidade proporcional ao quadrado da distância ao eixo z, isto é, rho=k,r^2. Em coordenadas cilíndricas o volume é dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 4

A massa é
Mb =integral0^2pi!!integral0^1!!integralr^1k,r^2,l(r,dz,dr,dthetar) =2pi kintegral0^1r^3l(1-rr),dr =2pi kl[tfracr^44-tfracr^55r]0^1 =pi k10

Passo 5

No item (c), definimos em cilíndricas r^2=x^2+y^2. O domínio é
1<= z<=5-r^2, r>=1, r^2<=4 (logo 1<= r<=2),0<=theta<=2pi,
e a densidade rho=k,z. Simetria garante xcm=ycm=0. Precisamos de
Mc=2pi kintegral1^2integral1^5-r^2z,r,dz,dr, Nc=2pi kintegral1^2integral1^5-r^2z^2,r,dz,dr,
e então zcm=Nc/Mc.

Passo 6

Calculando
Mc =pi kintegral1^2rl[(5-r^2)^2-1r],dr =9pi k,
Nc =2pi k3integral1^2rl[(5-r^2)^3-1r],dr =20,25,pi k
Logo
zcm=20,25pi k9pi k=94

Passo 7

No item (d) o sólido é no primeiro octante, em cilíndricas com thetain[0,pi/2], rin[0,4costheta], zin[0,raiz16-r^2], densidade rho=k,z. Portanto
Md =integral0^pi/2!!integral0^4costheta!!integral0^raiz16-r^2k,z,(r,dz,dr,dtheta) =10pi k

Passo 8

No item (e) o corpo é o tetraedro
x+y+z<=4, x,y,z>=0,
densidade constante. O momento em relação a z é
Iz=integral tripla(x^2+y^2),dV
numa integral tripla em coordenadas cartesianas. Fazendo as integrais em z,y,x obtemos
Ie=51215

Passo 9

No item (f) o cubo unitário tem arestas paralelas aos eixos. Um eixo que contém a aresta de vértices (0,0,0)to(1,0,0) é o próprio eixo x. O momento de inércia homogêneo é
If=integral0^1!!integral0^1!!integral0^1(y^2+z^2),dx,dy,dz =23

Passo 10

No item (g) temos uma semiesfera de raio R, densidade rho=k,r (proporcional à distância ao centro). Em esféricas sobre phiin[0,pi/2] calcula-se
Mg =integral tripla k,rho;dV =pi k R^42, zcm =2R5,
e xcm=ycm=0.

Passo 11

No item (h) pede a propriedade de continuidade e média de uma função contínua f sobre bolas Bn que encolhem ao ponto (x0,y0,z0). A demonstração usa que, dada varepsilon>0, há de<a tal que |P-P0|<de<a implica |f(P)-f(P0)|<varepsilon. Para n grande, Bn cabe nessa bola de raio de<a, e então
l|tfrac1Vnintegral triplaBnf-!f(P0)r| <=tfrac1Vnintegral triplaBn|f-f(P0)|<varepsilon
Isso mostra o limite pedido.

Resposta

a) Ma=pi k8
b) Mb=pi k10
c) Mc=9pi k,(xcm,ycm,zcm)=(0,0,tfrac94)
d) Md=10pi k
e) Ie=51215
f) If=23
g) Mg=pi k R^42,(xcm,ycm,zcm)=(0,0,tfrac2R5)
h) limntoinfty1Vnintegral triplaBnf=f(x0,y0,z0).

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