V ou F? Caso seja F, apresente um contraexemplo para justificar a sua resposta:
Se A B e B A estão definidos, então A e B são quadradas.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que os produtos AB e BA existem, as matrizes A e B são obrigatoriamente quadradas. O conteúdo usado aqui é a condição de existência de produto de matrizes em função de suas dimensões.

Passo 2

Suponha que
A seja mtimes n e B seja ptimes q
Para que AB exista, precisamos de n=p, e então AB é mtimes q. Para que BA exista, precisamos de q=m, e então BA é ptimes n. Combinando, temos
n=p e q=m,
ou seja,
A é mtimes n e B é ntimes m éé

Passo 3

Da dimensão acima vemos que, se mneq n, nenhuma das matrizes A e B é quadrada, embora AB e BA existam. Logo, a existência de AB e BA não implica que A e B sejam quadradas.

Passo 4

Um contraexemplo concreto é
A = 1 & 2, B = 3 4
Aqui A é 1times2 e B é 2times1 (nenhuma é quadrada), mas
AB = 11 e BA = 3 & 6 4 & 8
estão definidos.

Resposta

F

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