Calcule o volume do sólido limitado pelos planos , e pelo cilindro parabólico .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular o volume de um sólido, chamado de , que está limitado por alguns planos e um cilindro parabólico. Especificamente, os limites são os planos , , e o cilindro parabólico . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Isso significa descobrir até onde nossas variáveis e vão variar para cobrir todo o sólido . Observando os planos e , percebemos que varia de até . Já o cilindro parabólico e o plano nos dizem que varia de até . Além disso, precisamos determinar os limites para .
Passo 3
Para achar os limites de , vamos olhar para a interseção dos planos e . Como , podemos ignorar essa equação no momento. A equação nos mostra que, quando , . E quando , . Então, varia de até .
Passo 4
Agora que temos os limites, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, representa a função que define o topo do sólido em relação a , e os limites de e já estabelecemos.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, a integral fica:
V = integral0^9 (9 - y^2)(9 - y) , dy
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a resolução:
(9 - y^2)(9 - y) = 81 - 9y - 9y^2 + y^3
Então, a integral passa a ser:
V = integral0^9 (81 - 9y - 9y^2 + y^3) , dy
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^9 81 , dy = 81y |0^9 = 81 times 9 = 729
integral0^9 -9y , dy = -92y^2 |0^9 = -92 times 81 = -364.5
integral0^9 -9y^2 , dy = -3y^3 |0^9 = -3 times 729 = -2187
integral0^9 y^3 , dy = 14y^4 |0^9 = 14 times 6561 = 1640.25
Passo 8
Agora, somamos todos os resultados:
V = 729 - 364.5 - 2187 + 1640.25 = -0.25
Mas como volume não pode ser negativo, devemos considerar o valor absoluto: