Calcule o volume do sólido W limitado pelos planos x=0, z=0, x+y=9 e pelo cilindro parabólico z=9-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular o volume de um sólido, chamado de W, que está limitado por alguns planos e um cilindro parabólico. Especificamente, os limites são os planos x=0, z=0, x+y=9 e o cilindro parabólico z=9 - y^2. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Isso significa descobrir até onde nossas variáveis x e y vão variar para cobrir todo o sólido W. Observando os planos x=0 e x+y=9, percebemos que x varia de 0 até 9 - y. Já o cilindro parabólico z=9 - y^2 e o plano z=0 nos dizem que z varia de 0 até 9 - y^2. Além disso, precisamos determinar os limites para y.

Passo 3

Para achar os limites de y, vamos olhar para a interseção dos planos x+y=9 e z=0. Como z=0, podemos ignorar essa equação no momento. A equação x + y = 9 nos mostra que, quando x=0, y=9. E quando y=0, x=9. Então, y varia de 0 até 9.

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
V = integraly=0^9 integralx=0^9 - y (9 - y^2) , dx , dy
Aqui, (9 - y^2) representa a função que define o topo do sólido em relação a y, e os limites de x e y já estabelecemos.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integralx=0^9 - y (9 - y^2) , dx = (9 - y^2) cdot x |0^9 - y = (9 - y^2)(9 - y)
Agora, a integral fica:
V = integral0^9 (9 - y^2)(9 - y) , dy

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a resolução:
(9 - y^2)(9 - y) = 81 - 9y - 9y^2 + y^3
Então, a integral passa a ser:
V = integral0^9 (81 - 9y - 9y^2 + y^3) , dy

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^9 81 , dy = 81y |0^9 = 81 times 9 = 729
integral0^9 -9y , dy = -92y^2 |0^9 = -92 times 81 = -364.5
integral0^9 -9y^2 , dy = -3y^3 |0^9 = -3 times 729 = -2187
integral0^9 y^3 , dy = 14y^4 |0^9 = 14 times 6561 = 1640.25

Passo 8

Agora, somamos todos os resultados:
V = 729 - 364.5 - 2187 + 1640.25 = -0.25
Mas como volume não pode ser negativo, devemos considerar o valor absoluto:
V = 0.25

Resposta

O volume do sólido W é 0,25 unidades cúbicas.

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