Calcule o volume da superfície gerada pela rotaçāo da curva f(x)=sen(x^2), entre 0 e raizpi, em torno do eixo y
volume =2 pi integrala^b x f(x) d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da curva f(x)=sin(x^2) no intervalo de x=0 até x=raizpi em torno do eixo y. O conteúdo principal é o método das cascas cilíndricas, que fornece a fórmula V=2piintegrala^b x,f(x),dx, e também vamos usar o método de substituição simples para resolver a integral.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de volume por cascas cilíndricas ao nosso caso e escrevemos:
V = 2pi integral0^raizpi x,sin(x^2),dx

Passo 3

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Os limites mudam de x=0 para u=0 e de x=raizpi para u=pi.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos:
V = 2pi integral0^raizpi xsin(x^2),dx = 2pi integral0^pi sin(u),du2 = pi integral0^pi sin(u),du

Passo 5

Agora calculamos a primitiva de sin(u):
integral0^pisin(u),du = [-cos(u)]0^pi = (-cos(pi)) - (-cos(0)) = ( -(-1) ) - ( -1 ) = 2

Passo 6

Logo, substituindo de volta, temos V = pi times 2 = 2pi.

Resposta

2pi

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