Considere a função real
.
Explique, com suas palavras, o que é uma função bijetora, e determine a função inversa
, indicando o seu domínio e imagem.
Passo 1
A questão apresenta a função real f(x)=−√(x+4), definida para x≥−4, e pede para explicar o que é bijeção e, em seguida, encontrar a inversa f^(−1), indicando domínio e imagem.
Passo 2
Uma função é bijetora se for injetora (cada valor da imagem vem de um único x no domínio) e sobrejetora (cada valor do contradomínio é atingido por algum x). Assim, bijeção significa existência de inversa.
Passo 3
Para mostrar que f é injetora, suponha f(x₁)=f(x₂). Então −√(x₁+4)=−√(x₂+4) implica √(x₁+4)=√(x₂+4). Como a raiz quadrada é única e crescente, x₁+4=x₂+4 e, portanto, x₁=x₂.
Passo 4
Para ver que f é sobrejetora quando tomamos como contradomínio a imagem Im(f)={y∈ℝ:y≤0}, note que, para todo y≤0, existe x≥−4 tal que f(x)=y (basta escolher x=y²−4). Dessa forma, f é bijetora entre Dom(f)=[−4,∞) e Im(f)=(−∞,0].
Passo 5
Para encontrar a inversa, escrevemos y=−√(x+4). Isso dá −y=√(x+4) (observe que y≤0 garante −y≥0) e, elevando ao quadrado, x+4=(−y)²=y². Logo, x=y²−4. Assim, f^(−1)(y)=y²−4.
Passo 6
Trocando o nome da variável de y para x, a inversa fica f^(−1)(x)=x²−4, com Dom(f^(−1))=Im(f)=(−∞,0] e Im(f^(−1))=Dom(f)=[−4,∞).
Resposta
f^(−1)(x)=x²−4, Dom(f^(−1))=(−∞,0], Im(f^(−1))=[−4,∞)