Calcule o volume da superficie gerada pela rotaçăo da curva y=x sen(x^2), entre 0 e raizpi, em tomo do eixo x.
volume -integrala^b A(x) d x

Passo 1

Vamos calcular o volume da superfície gerada pela rotação da curva entre 0 e em torno do eixo . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente do método dos discos para encontrar volumes de rotação. Para resolver, precisamos usar a fórmula do volume por integração.

Passo 2

A fórmula para o volume V = pi integrala^b [f(x)]^2 dx gerado pela rotação de uma curva V = pi integral0^raizpi [x sen(x^2)]^2 dx = pi integral0^raizpi x^2 sen^2(x^2) dx em torno do eixo entre os limites e é:
No nosso caso, , e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Para simplificar a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com sen^2(u) = 1 - cos(2u)2 :
Substituindo na integral, temos:
sen^2(x^2) = 1 - cos(2x^2)2

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
pi2 integral0^raizpi x^2 dx
Integrando integral x^2 dx = x^33 + C :
pi2 [ (raizpi)^33 - 0^33 ] = pi2 cdot pi^3/23 = pi^5/26
Avalendo de 0 a :

Passo 5

Segunda Integral:
pi2 integral0^raizpi x^2 cos(2x^2) dx
Fazemos uma substituição para resolver essa integral. Seja x^2 = u2 , então pi2 integral0^2pi u2 cos(u) cdot du4 = pi16 integral0^2pi u cos(u) du ou integral u cos(u) du = u sen(u) - integral sen(u) du = u sen(u) + cos(u) + C . Observando que:
[ u sen(u) + cos(u) ]0^2pi = (2pi sen(2pi) + cos(2pi)) - (0 cdot sen(0) + cos(0)) = (0 + 1) - (0 + 1) = 0
Substituindo na integral:
Para resolver , usamos integração por partes:
Avaliado de 0 a :
Portanto, a segunda integral resulta em zero.

Passo 6

Voltando à expressão original do volume:
V = pi^5/26 - 0 = pi^5/26

Resposta

O volume da superfície gerada é , que aproximadamente vale 2,916 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados