Calcule o volume da superficie gerada pela rotaçăo da curva 
 , entre 0 e 
 , em tomo do eixo 
 .
 
Passo 1
Vamos calcular o volume da superfície gerada pela rotação da curva  entre 0 e 
  em torno do eixo 
 . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente do método dos discos para encontrar volumes de rotação. Para resolver, precisamos usar a fórmula do volume por integração.
Passo 2
A fórmula para o volume 
  gerado pela rotação de uma curva 
  em torno do eixo 
  entre os limites 
  e 
  é:
No nosso caso, , 
  e 
 . Substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Para simplificar a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com 
 :
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Integrando 
 :
Avalendo de 0 a 
 :
Passo 5
Segunda Integral:
Fazemos uma substituição para resolver essa integral. Seja 
 , então 
  ou 
 . Observando que:
Substituindo na integral:
Para resolver 
 , usamos integração por partes:
Avaliado de 0 a 
 :
Portanto, a segunda integral resulta em zero.
Passo 6
Voltando à expressão original do volume:
Resposta
O volume da superfície gerada é 
 , que aproximadamente vale 2,916 unidades cúbicas.