Calcule o volume do tetraedro de arestas u=3 i-2 j-6 k, v=2 i-j e w=i+3 j+4 k, após isso, determine a altura do tetraedro, relativa à base definida pelos vetores u e v

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro cujas arestas que partem de um mesmo vértice são os vetores u=(3,-2,-6), v=(2,-1,0) e w=(1,3,4), e depois a altura relativa à base triangular definida por u e v. Vamos usar o produto misto para o volume e a relação entre volume, área da base e altura para encontrar esta última.

Passo 2

Para calcular o produto misto, primeiro achamos o produto vetorial vtimesw:
vtimesw = i & j & k 2 & -1 & 0 1 & 3 & 4 = (-1cdot4 - 0cdot3),i - (2cdot4 - 0cdot1),j + (2cdot3 - (-1)cdot1),k = (-4,-8,7)
Em seguida, o produto misto é
det(u,v,w) = ucdot(vtimesw) = (3)(-4)+(-2)(-8)+(-6)(7) = -12+16-42=-38

Passo 3

O volume do tetraedro é um sexto do valor absoluto do produto misto:
V = l|det(u,v,w)r|6 = |-38|6 = 386 = 193

Passo 4

A base é o triângulo gerado por u e v, cuja área é
Abase = 12,l|utimesvr|
Calculamos
utimesv = i & j & k 3 & -2 & -6 2 & -1 & 0 = (-6,-12,1),
l|utimesvr|=raiz(-6)^2+(-12)^2+1^2=raiz36+144+1=raiz181,
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Abase=12,raiz181

Passo 5

Para um tetraedro, V=tfrac13Abasetimes h, de onde
h = 3VAbase = 3cdot193tfrac12raiz181 = 19tfrac12raiz181 = 38raiz181

Resposta

Volume V=tfrac193.
Altura relativa à base h=38raiz181.

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