Os vetores u=i+2 j+3 k, v=2 i-j+k e w=3+j+4 k são coplanares?

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço:
u = i + 2j + 3k,
v = 2i - j + k e
w = 3i + j + 4k.
Queremos saber se eles são coplanares, ou seja, se o volume do paralelepípedo que formam é zero. Para isso, vamos usar o produto misto (ou triplo), que se expressa como determinante.

Passo 2

O produto misto entre u,v,w é
(utimesv)cdotw =det 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 3 & 1 & 4 ,
onde as linhas são as componentes de u,v,w.

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
det 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 3 & 1 & 4 =1cdot((-1)cdot4 - 1cdot1) -2cdot(2cdot4 - 1cdot3) +3cdot(2cdot1 - (-1)cdot3)
Agora avaliando cada termo:
1cdot(-4 -1) -2cdot(8 -3) +3cdot(2+3) =1cdot(-5) -2cdot5 +3cdot5 =-5 -10 +15 =0

Passo 4

Como o produto misto deu zero, o volume do paralelepípedo é zero, logo os vetores estão no mesmo plano.

Resposta

Sim, os vetores u, v e w são coplanares.

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