Os vetores u=i+2 j+3 k, v=2 i-j+k e w=3+j+4 k são coplanares? Passo 1O enunciado dá três vetores no espaço: u = i + 2j + 3k, v = 2i - j + k e w = 3i + j + 4k. Queremos saber se eles são coplanares, ou seja, se o volume do paralelepípedo que formam é zero. Para isso, vamos usar o produto misto (ou triplo), que se expressa como determinante. Passo 2O produto misto entre u,v,w é (utimesv)cdotw =det 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 3 & 1 & 4 , onde as linhas são as componentes de u,v,w. Passo 3Vamos calcular o determinante: det 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 3 & 1 & 4 =1cdot((-1)cdot4 - 1cdot1) -2cdot(2cdot4 - 1cdot3) +3cdot(2cdot1 - (-1)cdot3) Agora avaliando cada termo: 1cdot(-4 -1) -2cdot(8 -3) +3cdot(2+3) =1cdot(-5) -2cdot5 +3cdot5 =-5 -10 +15 =0 Passo 4Como o produto misto deu zero, o volume do paralelepípedo é zero, logo os vetores estão no mesmo plano. RespostaSim, os vetores u, v e w são coplanares. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDados os vetores u=3 i-2 j+6 k, v=-3 i-5 j+8 k e w=i+k, calcule: a altura do paralelepípedo relativa à base definida pelos vetores u e v Prove que: Z(G) triang<=<=ft G. Mais geralmente, se H<Z(G), então H triang<=<=ft G. Calcule o volume do tetraedro de arestas u=3 i-2 j-6 k, v=2 i-j e w=i+3 j+4 k, após isso, determine a altura do tetraedro, relativa à base definida pelos vetores u e v Dados os vetores u=3 i-2 j+6 k, v=-3 i-5 j+8 k e w=i+k, calcule: o volume do paralelepípedo construído sobre u, v e w.