Calcule o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano que corta os cixos coordenados nos pontos
e
, isto é, pelo plano
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o volume do tetraedro (que é tipo uma pirâmide de base triangular) formado pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
Isso cai em Geometria Analítica / Cálculo em 3D: pra resolver a gente vai usar a fórmula do volume de pirâmide
O que precisamos fazer:
- descobrir a base (triângulo no plano
), - calcular a área desse triângulo,
- achar a altura (distância até o vértice no eixo
), - aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, achamos onde o plano intercepta cada eixo:
- Eixo
: ponho em → . - Eixo
: ponho em . - Eixo
: ponho em → .
Ou seja, os vértices fora da origem são, e .
Passo 3
Agora escolhemos como base o triângulo formado pela interseção com
. Nesse plano a equação vira
de
até
. Os vértices desse triângulo são
,
e
.
A área de um triângulo é
A área de um triângulo é
Passo 4
A altura da pirâmide é simplesmente a distância do plano
até o vértice que fica no eixo
, ou seja
. Então
Passo 5
Basta usar a fórmula do volume:
Resposta
O volume do tetraedro é
unidade cúbica.