Calcule o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano que corta os cixos coordenados nos pontos (2,0,0),(0,1,0) e (0,0,3), isto é, pelo plano x2+y1+z3=1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o volume do tetraedro (que é tipo uma pirâmide de base triangular) formado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano
x2 + y1 + z3 = 1
Isso cai em Geometria Analítica / Cálculo em 3D: pra resolver a gente vai usar a fórmula do volume de pirâmide
V = 13,Abasetimes h
O que precisamos fazer:
  1. descobrir a base (triângulo no plano z=0),
  2. calcular a área desse triângulo,
  3. achar a altura (distância até o vértice no eixo z),
  4. aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, achamos onde o plano intercepta cada eixo:
  • Eixo x: ponho y=0, z=0 em tfracx2=1 x=2.
  • Eixo y: ponho x=0, z=0 em y=1.
  • Eixo z: ponho x=0, y=0 em tfracz3=1 z=3.
    Ou seja, os vértices fora da origem são (2,0,0), (0,1,0) e (0,0,3).

Passo 3

Agora escolhemos como base o triângulo formado pela interseção com z=0. Nesse plano a equação vira
x2 + y = 1 Longrightarrow y = 1 - x2,
de x=0 até x=2. Os vértices desse triângulo são (0,0), (2,0) e (0,1).
A área de um triângulo é
Abase = tfrac12 times (base) times (a<ura) = tfrac12 times 2 times 1 = 1

Passo 4

A altura da pirâmide é simplesmente a distância do plano z=0 até o vértice que fica no eixo z, ou seja (0,0,3). Então
h = 3

Passo 5

Basta usar a fórmula do volume:
V = 13,Abasetimes h = 13 times 1 times 3 = 1

Resposta

O volume do tetraedro é 1 unidade cúbica.

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