Calcule o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s e t e pelo plano pi dados: r: x=z=0, s: x=y=0, t: x-2 y=z=0 e pi: x+y+z-5=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tetraedro cuja base está nos pontos de interseção das retas r, s e t com o plano π e cujo quarto vértice é a origem. O conteúdo é geometria analítica – interseção de reta com plano e volume de tetraedro via produto misto (determinante). Vamos precisar: (1) achar os pontos A, B, C dessas interseções e (2) usar a fórmula V = |det(A,B,C)|/6.

Passo 2

Para achar os vértices A, B e C, substituímos as equações de cada reta na equação do plano π:
Reta r: x=0, z=0 em π dá 0 + y + 0 - 5 = 0 ⇒ y=5, logo A=(0,5,0).
Reta s: x=0, y=0 em π dá 0 + 0 + z -5 =0 ⇒ z=5, logo B=(0,0,5).
Reta t: z=0 e x-2y=0 ⇒ x=2y. Substituindo em π: 2y + y + 0 -5 =0 ⇒ y=5/3, então x=10/3 e C=(10/3,5/3,0).

Passo 3

Agora definimos os vetores posição
A=(0,5,0),;B=(0,0,5),;C=(tfrac103,tfrac53,0) e calculamos o determinante que corresponde ao produto misto:
det(A,B,C)= 0 & 0 & tfrac103 5 & 0 & tfrac53 0 & 5 & 0 =2503

Passo 4

Por fim, usamos a fórmula do volume de tetraedro pelo valor absoluto do produto misto dividido por 6:
V=l|det(A,B,C)r|6= tfrac25036=25018=1259

Resposta

1259

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