Obtenha uma equação vetorial para a reta t , que passa por P e e concorrente com r e s, nos seguintes casos:
lx-y-z+5=0 2 x-z+4=0

Passo 1

O enunciado pede a reta t que passa por P e intercepta tanto r quanto s (ou seja, é concorrente com as duas). O conteúdo que vamos usar é: parametrizar r e s como retas no espaço e depois montar t ligando P a um ponto genérico de s.

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar a reta r, que é interseção das duas equações de plano. Os vetores normais são n₁=(1,−1,−1) e n₂=(2,0,−1). O vetor diretor de r é u=n₁×n₂. Fazendo o produto vetorial temos:
$$\nu= nu= i & j & k 1 & -1 & -1 2 & 0 & -1 =(1, -1, 2) =(1, -1, 2).
$$

Passo 3

Para um ponto de r, notamos que P=(1,0,6) satisfaz as duas equações de r (1−0−6+5=0 e 2·1−6+4=0), logo P está em r. Assim r pode ser escrita como
r(τ)=(1,0,6)+τ,(1,-1,2), τinR

Passo 4

Agora parametrizamos s pela forma simétrica (x-3)/2=(y-2)/3=z/3=t. Assim um ponto genérico S(t) ∈ s é
S(t)=(3+2t,,2+3t,,3t), tinR

Passo 5

Como t deve interceptar s e passar por P, basta ligar P a S(t). O vetor direção de t é d=S(t)−P. Calculando:
$$\vec d=(3+2t-1,;2+3t-0,;3t-6)=(2t+2,;3t+2,;3t-6).
$$

Passo 6

Finalmente, a equação vetorial da família de retas t que passa por P e intercepta s (logo também r em P) fica:
t:;(x,y,z)=(1,0,6)+lambda,(2t+2,;3t+2,;3t-6), lambdainR, tinR

Resposta

A família de retas concorrentes é
t:;(x,y,z)=(1,0,6)+lambda,(2t+2,;3t+2,;3t-6), lambda, tinR

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