Obtenha uma equação vetorial para a reta t, contida no plano pi: x-y+z=0 e que é concorrente com as retas
lx+y+2 z=2 x=y
lz=x+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta t que está contida no plano π: x−y+z=0 e que intersecta as retas r e s. Vamos usar a ideia de que, se t intersecta r e s e fica em π, basta achar os pontos A = r∩π e B = s∩π e, então, montar a reta que passa por A e B.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a reta r. Das equações x=y e x+y+2z=2, definimos x=y=t. Substituindo em x+y+2z=2, temos 2t+2z=2, logo z=1−t. Portanto
r: (x,y,z) = (t,,t,,1−t), tinR

Passo 3

Para achar A=r∩π, substituímos (x,y,z) na equação de π: x−y+z=0. Isso dá t−t+(1−t)=0, ou seja 1−t=0 ⇒ t=1. Logo
A=(1,,1,,0)

Passo 4

Agora parametrizamos a reta s. Das equações y=0 e z=x+2, definimos x=u, y=0, z=u+2. Assim
s: (x,y,z) = (u,,0,,u+2), uinR

Passo 5

Para achar B=s∩π, substituímos em π: u−0+(u+2)=0 ⇒ 2u+2=0 ⇒ u=−1. Logo
B=(−1,,0,,1)

Passo 6

A reta t é a que passa por A e B. O vetor diretor é
vec v = B−A = (−1−1,,0−1,,1−0) = (−2,,-1,,1)

Passo 7

Portanto a equação vetorial da reta t, usando parâmetro λ, é
(x,y,z) = (1,,1,,0) + λ,(−2,,-1,,1), λinR

Resposta

t:,(x,y,z) = (1,,1,,0) + λ,(-2,,-1,,1),;λinR

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