Calcule o volume o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s, t e pelo plano \pi : \pi: x+y+z+5=0 \quad r: x=z=0 \quad s: x=y=0 \quad t: x-2 y=z=0
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro determinado pelas três retas \;r\colon x=z=0,\;s\colon x=y=0,\;t\colon x-2y=z=0
e pelo plano \pi\colon x+y+z+5=0.
Como as três retas se encontram em um ponto comum O (a origem) e each reta intercepta \pi num ponto, temos um tetraedro com vértices
O,\;A,\;B,\;C,
sendo A, B, C as interseções de \pi com r, s e t. Para achar o volume usaremos o produto misto dos vetores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} e \overrightarrow{OC}:
V = \frac{1}{6}\bigl|\det\bigl[\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC}\bigr]\bigr|.
Passo 2
Interseção de \pi com a reta r\colon x=0,\;z=0. Substituindo em \pi:
0 + y + 0 + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; y = -5.
Logo
A = (0,\,-5,\,0).
Passo 3
Interseção de \pi com a reta s\colon x=0,\;y=0. Substituindo em \pi:
0 + 0 + z + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; z = -5.
Logo
B = (0,\,0,\,-5).
Passo 4
Interseção de \pi com a reta t\colon x-2y=0,\;z=0. Escrevemos x=2y e z=0 em \pi:
2y + y + 0 + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; 3y = -5 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac{5}{3},
x = 2y = -\tfrac{10}{3},\quad z=0.
Logo
C = \bigl(-\tfrac{10}{3},\,-\tfrac{5}{3},\,0\bigr).