Calcule o volume o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s, t e pelo plano \pi :
\pi: x+y+z+5=0 \quad r: x=z=0 \quad s: x=y=0 \quad t: x-2 y=z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro determinado pelas três retas
\;r\colon x=z=0,\;s\colon x=y=0,\;t\colon x-2y=z=0
e pelo plano
\pi\colon x+y+z+5=0.
Como as três retas se encontram em um ponto comum O (a origem) e each reta intercepta \pi num ponto, temos um tetraedro com vértices
O,\;A,\;B,\;C,
sendo A, B, C as interseções de \pi com r, s e t. Para achar o volume usaremos o produto misto dos vetores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} e \overrightarrow{OC}:
V = \frac{1}{6}\bigl|\det\bigl[\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC}\bigr]\bigr|.

Passo 2

Interseção de \pi com a reta r\colon x=0,\;z=0. Substituindo em \pi:
0 + y + 0 + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; y = -5.
Logo
A = (0,\,-5,\,0).

Passo 3

Interseção de \pi com a reta s\colon x=0,\;y=0. Substituindo em \pi:
0 + 0 + z + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; z = -5.
Logo
B = (0,\,0,\,-5).

Passo 4

Interseção de \pi com a reta t\colon x-2y=0,\;z=0. Escrevemos x=2y e z=0 em \pi:
2y + y + 0 + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; 3y = -5 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac{5}{3},
x = 2y = -\tfrac{10}{3},\quad z=0.
Logo
C = \bigl(-\tfrac{10}{3},\,-\tfrac{5}{3},\,0\bigr).

Passo 5

Formamos os vetores a partir da origem:
\overrightarrow{OA} = (0,\,-5,\,0),\quad \overrightarrow{OB} = (0,\,0,\,-5),\quad \overrightarrow{OC} = \bigl(-\tfrac{10}{3},\,-\tfrac{5}{3},\,0\bigr).
O determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
\det \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tfrac{10}{3}\\\\ -5& 0 & -\tfrac{5}{3}\\\\ 0 & -5& 0 \end{pmatrix} = -\tfrac{250}{3}.
O volume do tetraedro é
V = \frac{1}{6}\Bigl|\,-\tfrac{250}{3}\Bigr| = \frac{250}{18} = \frac{125}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{125}{9}

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