Verifique se o volume do paralelepípedo formado por \vec{a}=(1,0,2), \vec{b}=(2,1,1), \vec{c}=(3,1,3) é zero. ( 1,0 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
\vec{a}=(1,0,2), \vec{b}=(2,1,1) e \vec{c}=(3,1,3) é zero.
O conteúdo que vamos usar é que o volume desse paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}), que corresponde ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{a},\vec{b},\vec{c}.

Passo 2

Vamos calcular o determinante
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}
Usando expansão pela primeira linha:
1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 3\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{pmatrix}
=1\,(1\cdot3-1\cdot1)+2\,(2\cdot1-1\cdot3) =1\,(3-1)+2\,(2-3) =2+2\,(-1) =0
Como o produto misto é zero, o volume, que é o valor absoluto dele, também é zero.

Resposta

O volume do paralelepípedo é zero.

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