Calcule o volume dos tetraedros, dados pelos vértices abaixo:
(1,2,3),(3,4,5),(1,2,5) e (1,1,5).

Passo 1

Temos um tetraedro cujos vértices são
A=(1,2,3), B=(3,4,5), C=(1,2,5), D=(1,1,5)
O conteúdo aqui é geometria analítica 3D, e para achar o volume de um tetraedro usamos a fórmula baseada no produto misto:
Vol = 16l|detl(AB,,AC,,ADr)r|

Passo 2

Escolhendo A como vértice de referência, calculamos os vetores
AB=B-A=(3-1,,4-2,,5-3)=(2,2,2),
AC=C-A=(1-1,,2-2,,5-3)=(0,0,2),
AD=D-A=(1-1,,1-2,,5-3)=(0,-1,2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD. Usando o determinante formal,
ACtimesAD =det i&j&k 0&0&2 0&-1&2 =(2,0,0)

Passo 4

Agora o produto misto é
ABcdotl(ACtimesADr) =(2,2,2)cdot(2,0,0)=4

Passo 5

Aplicando a fórmula do volume,
Vol=16l|4r|=46=23

Resposta

23

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