Qual é a distância do ponto A=(2,0,-3) à reta lx=t-1 y=-t+1 z=2 t+2, t in R ?

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A=(2,0,-3) a uma reta em R^3. O conteúdo necessário é a fórmula da distância de um ponto a uma reta, que em 3D pode ser obtida usando produto vetorial:
d = l|(AP0)times vr||v|,
onde P0 é um ponto qualquer da reta e v é o vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos P0 na reta tomando t=0. Da parametrização
x=t-1, y=-t+1, z=2t+2,
segue que
P0 = (-1,1,2)
O vetor diretor da reta é
v = (1,,-1,,2)

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de P0 até A:
AP0 = A - P0 = (2 - (-1),,0 - 1,,-3 - 2) = (3,,-1,,-5)

Passo 4

Fazemos o produto vetorial e em seguida a norma:
AP0times v = i & j & k 3 & -1 & -5 1 & -1 & 2 = (-7,,-11,,-2),
l|(AP0)times vr| = raiz(-7)^2 + (-11)^2 + (-2)^2 = raiz49 + 121 + 4 = raiz174

Passo 5

Calculamos a norma de v e então a distância:
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz6,
d = raiz174raiz6 = raiz1746 = raiz29

Resposta

raiz29

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