Calcule o volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas bases têm área 36 \mathrm{dm}^{2} e 144 \mathrm{dm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide (tronco) com as seguintes informações: a altura do tronco é 4\\ \mathrm{dm} e as áreas das duas bases são 36\\ \mathrm{dm}^{2} e 144\\ \mathrm{dm}^{2}. Queremos calcular o volume do tronco em \mathrm{dm}^{3}.
Informações relevantes dadas:
h=4\\ \mathrm{dm},\qquad B_1=36\\ \mathrm{dm}^{2},\qquad B_2=144\\ \mathrm{dm}^{2}.
Não há outras informações ocultas — só precisamos do volume do tronco com essas duas áreas de base e essa altura.

Passo 2

Primeiro, a fórmula básica que usamos: o volume de uma pirâmide é
V_{\text{pirâmide}}=\frac{1}{3}\times\text{(área da base)}\times\text{(altura)}.âá
Explicando: se a base tem área A e a altura da pirâmide é H, então o volume da pirâmide inteira é \dfrac{1}{3}AH. Aqui cada símbolo significa: A = área da base (unidades ao quadrado), H = altura (unidades), e o resultado tem unidades cúbicas.
Um tronco de pirâmide pode ser visto como a pirâmide maior (com base maior) menos a pirâmide menor (no topo), que foi cortada. Vamos derivar a fórmula do volume do tronco usando semelhança entre as duas pirâmides.
Seja B a área da base maior, b a área da base menor, h a altura do tronco (essa que nos foi dada) e H a altura da pirâmide grande (desde a base maior até o vértice). A pirâmide pequena retirada tem altura H-h. Pela semelhança linear entre as pirâmides (mesma forma, só escala), a razão linear entre as dimensões da pirâmide pequena e grande é
k=\frac{H-h}{H}.
Como áreas escalam com o quadrado da razão linear, temos
b=k^{2}B.
Logo
k=\sqrt{\frac{b}{B}}.
Igualando as duas expressões para k:
\frac{H-h}{H}=\sqrt{\frac{b}{B}}.
Dessa igualdade podemos isolar H se quisermos; porém há um caminho direto para o volume do tronco: volume do tronco é volume da pirâmide grande menos volume da pirâmide pequena:
V_{\text{tronco}}=\frac{1}{3}BH-\frac{1}{3}b(H-h).

Passo 3

Agora simplificamos a expressão do volume e usamos a relação de semelhança para eliminar H. Começando pela expressão acima:
V_{\text{tronco}}=\frac{1}{3}\big(BH-b(H-h)\big) =\frac{1}{3}\big(BH-bH+bh\big) =\frac{1}{3}\big(H(B-b)+bh\big).
Da relação de semelhança temos
\frac{H-h}{H}=\sqrt{\frac{b}{B}}\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{b}{B}}.
Isolando \dfrac{h}{H}:
\frac{h}{H}=1-\sqrt{\frac{b}{B}}.
Logo
H=\frac{h}{1-\sqrt{\dfrac{b}{B}}}.
Substituímos H em H(B-b):
H(B-b)=\frac{h}{1-\sqrt{\dfrac{b}{B}}}\,(B-b).
Fatorando B em B-b: B-b=B\big(1-\dfrac{b}{B}\big)=B\big(1-(\sqrt{b/B})^{2}\big). Note que
1-(\sqrt{b/B})^{2}=\big(1-\sqrt{b/B}\big)\big(1+\sqrt{b/B}\big).
Então
H(B-b)=\frac{h}{1-\sqrt{\dfrac{b}{B}}}\;B\big(1-\sqrt{\tfrac{b}{B}}\big)\big(1+\sqrt{\tfrac{b}{B}}\big) = hB\big(1+\sqrt{\tfrac{b}{B}}\big).
Portanto, voltando para V_{\text{tronco}}:
V_{\text{tronco}}=\frac{1}{3}\big(H(B-b)+bh\big) =\frac{1}{3}\big(hB\big(1+\sqrt{\tfrac{b}{B}}\big)+bh\big).
Fatorando h/3:
V_{\text{tronco}}=\frac{h}{3}\big(B+ \sqrt{Bb} + b\big).
Essa é a fórmula padrão e útil: o volume do tronco de pirâmide de altura h e bases de áreas B e b é
\boxed{V=\frac{h}{3}\big(B+b+\sqrt{Bb}\big)}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula aos números dados. Tomando B=144\\ \mathrm{dm}^{2}, b=36\\ \mathrm{dm}^{2} e h=4\\ \mathrm{dm}:
Calcule primeiro \sqrt{Bb}:
\sqrt{Bb}=\sqrt{144\cdot 36}=\sqrt{5184}=72.
Agora some as áreas e a raiz:
B+b+\sqrt{Bb}=144+36+72=252.
Multiplique por h/3:
V=\frac{4}{3}\times 252=\frac{1008}{3}=336.
Portanto o volume é 336 em unidades cúbicas correspondentes às dadas (a base em \mathrm{dm}^{2} e a altura em \mathrm{dm} dá volume em \mathrm{dm}^{3}).

Passo 5

Cheque rápido de coerência: se fosse um prisma de base com área média entre 36 e 144 (muito grosseiro), o volume seria aproximadamente área média vezes altura; nossa resposta 336\\ \mathrm{dm}^{3} é compatível com a altura pequena 4\\ \mathrm{dm} e bases relativamente grandes. Está tudo bem. Vai dar certo na prova — você mandou bem por trazer a questão!

Resposta

336\\ \mathrm{dm}^{3}

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