Calcule o volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas bases têm área
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide (tronco) com as seguintes informações: a altura do tronco é
e as áreas das duas bases são
e
. Queremos calcular o volume do tronco em
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Não há outras informações ocultas — só precisamos do volume do tronco com essas duas áreas de base e essa altura.
Passo 2
Primeiro, a fórmula básica que usamos: o volume de uma pirâmide é
Explicando: se a base tem área
e a altura da pirâmide é
, então o volume da pirâmide inteira é
. Aqui cada símbolo significa:
= área da base (unidades ao quadrado),
= altura (unidades), e o resultado tem unidades cúbicas.
Um tronco de pirâmide pode ser visto como a pirâmide maior (com base maior) menos a pirâmide menor (no topo), que foi cortada. Vamos derivar a fórmula do volume do tronco usando semelhança entre as duas pirâmides.
Seja
a área da base maior,
a área da base menor,
a altura do tronco (essa que nos foi dada) e
a altura da pirâmide grande (desde a base maior até o vértice). A pirâmide pequena retirada tem altura
. Pela semelhança linear entre as pirâmides (mesma forma, só escala), a razão linear entre as dimensões da pirâmide pequena e grande é
Como áreas escalam com o quadrado da razão linear, temos
Logo
Igualando as duas expressões para
:
Dessa igualdade podemos isolar
se quisermos; porém há um caminho direto para o volume do tronco: volume do tronco é volume da pirâmide grande menos volume da pirâmide pequena:
Passo 3
Agora simplificamos a expressão do volume e usamos a relação de semelhança para eliminar
. Começando pela expressão acima:
Da relação de semelhança temos
Isolando
:
Logo
Substituímos
em
:
Fatorando
em
:
. Note que
Então
Portanto, voltando para
:
Fatorando
:
Essa é a fórmula padrão e útil: o volume do tronco de pirâmide de altura
e bases de áreas
e
é
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula aos números dados. Tomando
,
e
:
Calcule primeiro :
Calcule primeiro
Agora some as áreas e a raiz:
Multiplique por
:
Portanto o volume é
em unidades cúbicas correspondentes às dadas (a base em
e a altura em
dá volume em
).
Passo 5
Cheque rápido de coerência: se fosse um prisma de base com área média entre
e
(muito grosseiro), o volume seria aproximadamente área média vezes altura; nossa resposta
é compatível com a altura pequena
e bases relativamente grandes. Está tudo bem. Vai dar certo na prova — você mandou bem por trazer a questão!