Determine o volume de um tronco de pirâmide de
de superfície total, sendo as bases hexágonos regulares de 9 cm e 3 cm de lado, respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são hexágonos regulares com lados
cm (base maior) e
cm (base menor). A superfície total do tronco é
. A pergunta é: determinar o volume do tronco.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- lado da base maior:
. - lado da base menor:
. - superfície total:
.
Observação importante (extraída do enunciado): a superfície total do tronco inclui as duas bases e a área lateral.
Passo 2
Vamos calcular as áreas das bases (hexágonos regulares). A fórmula da área de um hexágono regular de lado
é
Explicando a fórmula de forma simples: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado
; a área de cada triângulo é
, então a área total é
.
Aplicando às duas bases:
Aplicando às duas bases:
Área da base maior:
Área da base menor:
Soma das áreas das bases:
Passo 3
A área lateral
do tronco é a superfície total menos a soma das bases. Assim:
Passo 4
Agora precisamos relacionar a área lateral com a geratriz (slant height) do tronco. Para um tronco de pirâmide cujas bases são polígonos similares, a área lateral é dada por
onde
é a geratriz (slant height) medida ao longo da face lateral e
são os perímetros das bases. Explicando: cada face lateral é um trapézio cuja altura é
; somando as áreas dos 6 trapézios obtém-se essa fórmula (média dos perímetros multiplicada por
).
Perímetros das bases (hexágonos):
Logo
Passo 5
Usando
e o valor de
do Passo 3, obtemos
:
Então a geratriz do tronco é
.
Passo 6
Para calcular o volume do tronco precisamos da altura vertical
. Relacionamos
,
e a diferença das apótemas das bases por um triângulo retângulo. A apótema (inradius) de um hexágono regular de lado
é
Esta fórmula vem do fato de que a apótema é a distância do centro ao meio do lado, que corresponde à altura do triângulo equilátero divido pela razão, resultando em
.
Apótemas das duas bases:
Diferença das apótemas:
Agora o triângulo retângulo que liga
,
e
dá
Substituindo
e
:
Passo 7
Fórmula do volume do tronco de pirâmide (mesma forma do tronco de cone/pirâmide): se
e
são as áreas das bases e
a altura vertical, então
Explicando: essa fórmula vem da diferença entre volumes de pirâmides semelhantes ou pela integração — é padrão para troncos de pirâmide (e de cone). Aqui já temos
e
.
Passo 8
Calculemos
. Usando
e
:
Como
, temos
Somando:
Agora o volume:
Substituindo
e simplificando
:
Como
, obtemos