Determine o volume de um tronco de pirâmide de 279 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} de superfície total, sendo as bases hexágonos regulares de 9 cm e 3 cm de lado, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são hexágonos regulares com lados 9 cm (base maior) e 3 cm (base menor). A superfície total do tronco é 279\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2. A pergunta é: determinar o volume do tronco.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • lado da base maior: a_1 = 9\\ \mathrm{cm}.
  • lado da base menor: a_2 = 3\\ \mathrm{cm}.
  • superfície total: S_{\text{total}} = 279\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
    Observação importante (extraída do enunciado): a superfície total do tronco inclui as duas bases e a área lateral.

Passo 2

Vamos calcular as áreas das bases (hexágonos regulares). A fórmula da área de um hexágono regular de lado a é
A_{\text{hex}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
Explicando a fórmula de forma simples: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado a; a área de cada triângulo é \frac{\sqrt{3}}{4}a^2, então a área total é 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.
Aplicando às duas bases:
Área da base maior:
B_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 81 = \frac{243\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{cm}^2.
Área da base menor:
B_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 3^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{cm}^2.
Soma das áreas das bases:
B_1+B_2=\frac{243\sqrt{3}}{2}+\frac{27\sqrt{3}}{2}=\frac{270\sqrt{3}}{2}=135\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 3

A área lateral A_L do tronco é a superfície total menos a soma das bases. Assim:
A_L = S_{\text{total}} - (B_1+B_2) = 279\sqrt{3} - 135\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 4

Agora precisamos relacionar a área lateral com a geratriz (slant height) do tronco. Para um tronco de pirâmide cujas bases são polígonos similares, a área lateral é dada por
A_L = s\cdot\frac{P_1+P_2}{2},
onde s é a geratriz (slant height) medida ao longo da face lateral e P_1,P_2 são os perímetros das bases. Explicando: cada face lateral é um trapézio cuja altura é s; somando as áreas dos 6 trapézios obtém-se essa fórmula (média dos perímetros multiplicada por s).
Perímetros das bases (hexágonos):
P_1 = 6a_1 = 6\cdot 9 = 54\\ \mathrm{cm},\qquad P_2 = 6a_2 = 6\cdot 3 = 18\\ \mathrm{cm}.
Logo
\frac{P_1+P_2}{2}=\frac{54+18}{2}=36\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Usando A_L = s\cdot 36 e o valor de A_L do Passo 3, obtemos s:
36\,s = 144\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad s = \frac{144\sqrt{3}}{36}=4\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
Então a geratriz do tronco é s=4\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Para calcular o volume do tronco precisamos da altura vertical h. Relacionamos h, s e a diferença das apótemas das bases por um triângulo retângulo. A apótema (inradius) de um hexágono regular de lado a é
r=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Esta fórmula vem do fato de que a apótema é a distância do centro ao meio do lado, que corresponde à altura do triângulo equilátero divido pela razão, resultando em \frac{\sqrt{3}}{2}a.
Apótemas das duas bases:
r_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{2}=4{,}5\sqrt{3}\\ \mathrm{cm},
r_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2}=1{,}5\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
Diferença das apótemas:
\Delta r = r_1-r_2 = 3\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
Agora o triângulo retângulo que liga h, \Delta r e s
s^{2}=h^{2}+(\Delta r)^{2}.
Substituindo s=4\sqrt{3} e \Delta r=3\sqrt{3}:
(4\sqrt{3})^{2}=h^{2}+(3\sqrt{3})^{2}
48 = h^{2}+27
h^{2}=21\quad\Rightarrow\quad h=\sqrt{21}\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Fórmula do volume do tronco de pirâmide (mesma forma do tronco de cone/pirâmide): se B_1 e B_2 são as áreas das bases e h a altura vertical, então
V=\frac{h}{3}\left(B_1+B_2+\sqrt{B_1B_2}\right).
Explicando: essa fórmula vem da diferença entre volumes de pirâmides semelhantes ou pela integração — é padrão para troncos de pirâmide (e de cone). Aqui já temos B_1,B_2 e h.

Passo 8

Calculemos \sqrt{B_1B_2}. Usando B_1=\dfrac{243\sqrt{3}}{2} e B_2=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}:
B_1B_2=\frac{243\cdot 27 \cdot (\sqrt{3})^{2}}{4}=\frac{243\cdot 27\cdot 3}{4}=\frac{19683}{4}.
Como 19683=3^{9}, temos
\sqrt{B_1B_2}=\frac{\sqrt{19683}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}.
Somando:
B_1+B_2+\sqrt{B_1B_2}=\frac{243\sqrt{3}}{2}+\frac{27\sqrt{3}}{2}+\frac{81\sqrt{3}}{2}=\frac{351\sqrt{3}}{2}.
Agora o volume:
V=\frac{h}{3}\cdot\frac{351\sqrt{3}}{2}=\frac{h\cdot 351\sqrt{3}}{6}.
Substituindo h=\sqrt{21} e simplificando \sqrt{3}\sqrt{21}=\sqrt{63}:
V=\frac{351}{6}\sqrt{63}=\frac{117}{2}\sqrt{63}.
Como \sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}, obtemos
V=\frac{117}{2}\cdot 3\sqrt{7}=\frac{351}{2}\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

\displaystyle \frac{351}{2}\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}^3

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