Um tronco de pirâmide de 6 m de altura tem por base inferior um pentágono de área 20 \mathrm{~m}^{2}. Um lado desse pentágono mede 4 m , sendo 3 m a medida do seu homólogo na base superior. Determine o volume do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tronco de pirâmide (tronco) e nos dá as seguintes informações:
  • altura do tronco: 6\\ \mathrm{m}.
  • área da base inferior (base maior): 20\\ \mathrm{m}^2.
  • um lado da base inferior mede 4\\ \mathrm{m} e o seu homólogo na base superior mede 3\\ \mathrm{m}.
Portanto a pergunta concreta é: determinar o volume do tronco com esses dados.

Passo 2

Primeiro passo prático: relacionar as duas bases pela semelhança. As duas bases são pentágonos semelhantes (mesma forma, lados homólogos dados), e o quociente entre lados homólogos é a razão de semelhança linear. Definimos
k=\frac{\text{lado da base superior}}{\text{lado da base inferior}}=\frac{3}{4}.
Quando figuras são semelhantes, as áreas se relacionam pelo quadrado da razão linear. Ou seja, se A_1 é a área da base maior e A_2 a da base menor, então
A_2 = k^2 A_1.
Explicando de maneira concreta: dobrando o comprimento de um quadrado, a área fica multiplicada por 2^2. É a mesma ideia: a área escala com o quadrado da escala linear.

Passo 3

Aplicando a fórmula de escala das áreas com A_1=20\\ \mathrm{m}^2 e k=\dfrac{3}{4}:
A_2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 20 = \frac{9}{16}\cdot 20 = \frac{180}{16} = \frac{45}{4}=11{,}25\\ \mathrm{m}^2.
Então a área da base superior é 11{,}25\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Agora precisamos da fórmula do volume do tronco de pirâmide. Vou derivá-la de modo didático para você poder justificar na prova. Considere a pirâmide completa cuja base é a base maior do tronco e vértice no mesmo ápice. Seja:
  • A_1 área da base maior,
  • A_2 área da base menor (a que ficou no topo do tronco),
  • H altura da pirâmide completa,
  • r razão linear entre as bases quando comparadas (logo r=\sqrt{A_2/A_1}),
  • h altura do tronco (dada).
Pela semelhança, a altura da pirâmide pequena (a que foi cortada) é rH. Então
h = H - rH = H(1-r)\quad\Rightarrow\quad H=\frac{h}{1-r}.
Volumes: pirâmide grande V_{\text{grande}}=\dfrac{1}{3}A_1H, pirâmide pequena V_{\text{pequena}}=\dfrac{1}{3}A_2(rH) mas é mais direto usar A_2=r^2A_1 e H_{\text{pequena}}=rH para obter V_{\text{pequena}}=\dfrac{1}{3}r^3A_1H. Então o volume do tronco é
V = V_{\text{grande}}-V_{\text{pequena}}=\frac{1}{3}A_1H\bigl(1-r^3\bigr).
Substituindo H=\dfrac{h}{1-r} e fatorando 1-r^3=(1-r)(1+r+r^2) obtemos
V=\frac{1}{3}A_1\frac{h}{1-r}(1-r^3)=\frac{hA_1}{3}\cdot(1+r+r^2).
Agora escrevemos em termos das áreas (porque r=\sqrt{A_2/A_1}):
r^2=\frac{A_2}{A_1}\quad\Rightarrow\quad A_1 r=\sqrt{A_1A_2}.
Substituindo na expressão anterior resulta a fórmula conhecida:
\boxed{V=\frac{h}{3}\bigl(A_1 + \sqrt{A_1A_2} + A_2\bigr).}
Essa é a fórmula que usaremos: altura vezes a média especial das áreas das bases.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com os números que temos:
h=6\\ \mathrm{m},\qquad A_1=20\\ \mathrm{m}^2,\qquad A_2=11{,}25\\ \mathrm{m}^2.
Calcule primeiro o termo misto:
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{20\cdot 11{,}25}=\sqrt{225}=15.
Somando as áreas e o termo misto:
A_1 + \sqrt{A_1A_2} + A_2 = 20 + 15 + 11{,}25 = 46{,}25.
Logo o volume é
V=\frac{6}{3}\cdot 46{,}25 = 2\cdot 46{,}25 = 92{,}5\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

\,92{,}5\\ \mathrm{m}^3

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