Um tronco de pirâmide de 6 m de altura tem por base inferior um pentágono de área
. Um lado desse pentágono mede 4 m , sendo 3 m a medida do seu homólogo na base superior. Determine o volume do tronco de pirâmide.
Passo 1
O enunciado pede o volume do tronco de pirâmide (tronco) e nos dá as seguintes informações:
- altura do tronco:
. - área da base inferior (base maior):
. - um lado da base inferior mede
e o seu homólogo na base superior mede .
Portanto a pergunta concreta é: determinar o volume do tronco com esses dados.
Passo 2
Primeiro passo prático: relacionar as duas bases pela semelhança. As duas bases são pentágonos semelhantes (mesma forma, lados homólogos dados), e o quociente entre lados homólogos é a razão de semelhança linear. Definimos
Quando figuras são semelhantes, as áreas se relacionam pelo quadrado da razão linear. Ou seja, se
é a área da base maior e
a da base menor, então
Explicando de maneira concreta: dobrando o comprimento de um quadrado, a área fica multiplicada por
. É a mesma ideia: a área escala com o quadrado da escala linear.
Passo 3
Aplicando a fórmula de escala das áreas com
e
:
Então a área da base superior é
.
Passo 4
Agora precisamos da fórmula do volume do tronco de pirâmide. Vou derivá-la de modo didático para você poder justificar na prova. Considere a pirâmide completa cuja base é a base maior do tronco e vértice no mesmo ápice. Seja:
-
área da base maior, -
área da base menor (a que ficou no topo do tronco), -
altura da pirâmide completa, -
razão linear entre as bases quando comparadas (logo ), -
altura do tronco (dada).
Pela semelhança, a altura da pirâmide pequena (a que foi cortada) é
. Então
Volumes: pirâmide grande
, pirâmide pequena
mas é mais direto usar
e
para obter
. Então o volume do tronco é
Substituindo
e fatorando
obtemos
Agora escrevemos em termos das áreas (porque
):
Substituindo na expressão anterior resulta a fórmula conhecida:
Essa é a fórmula que usaremos: altura vezes a média especial das áreas das bases.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula com os números que temos:
Calcule primeiro o termo misto:
Somando as áreas e o termo misto:
Logo o volume é