Questão 3. (20 pontos)
Calcular o comprimento da curva dada pelo gráfico da função
, para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o comprimento da curva representada pela função
no intervalo de
de 1 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matemática, que faz parte do cálculo. Vamos precisar da fórmula para o comprimento de uma curva e calcular a derivada da função dada.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 3
Agora, precisamos do quadrado da derivada,
:
Passo 4
A fórmula para o comprimento da curva
é dada por:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Agora, nossa integral fica bem mais simples:
Vamos calcular essa integral.
Passo 7
Integrando termo a termo:
Para calcular o comprimento, não precisamos do
, então avaliamos de 1 a 3:
Passo 8
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.