Questão 3. (20 pontos)

Calcular o comprimento da curva dada pelo gráfico da função y=13(x^2+2)^3 / 2, para 1 <= x <= 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o comprimento da curva representada pela função y = 13(x^2+2)^3/2 no intervalo de x de 1 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matemática, que faz parte do cálculo. Vamos precisar da fórmula para o comprimento de uma curva e calcular a derivada da função dada.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Usamos a regra da cadeia para derivar y = 13(x^2+2)^3/2 .
dydx = 13 times 32 (x^2+2)^1/2 times 2x = x (x^2+2)^1/2

Passo 3

Agora, precisamos do quadrado da derivada, (dydx)^2 :
(dydx)^2 = (x (x^2+2)^1/2)^2 = x^2 (x^2+2) = x^4 + 2x^2

Passo 4

A fórmula para o comprimento da curva L é dada por:
L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx
Substituindo a = 1 e b = 3 , temos:
L = integral1^3 raiz1 + x^4 + 2x^2 , dx

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
1 + x^4 + 2x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
Então,
raiz(x^2 + 1)^2 = x^2 + 1

Passo 6

Agora, nossa integral fica bem mais simples:
L = integral1^3 (x^2 + 1) , dx
Vamos calcular essa integral.

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral (x^2 + 1) , dx = 13x^3 + x + C
Para calcular o comprimento, não precisamos do C , então avaliamos de 1 a 3:
L = [ 13x^3 + x ]1^3 = ( 13(3)^3 + 3 ) - ( 13(1)^3 + 1 )

Passo 8

Calculando os valores:
13(27) + 3 = 9 + 3 = 12
13(1) + 1 = 13 + 1 = 43
Então,
L = 12 - 43 = 363 - 43 = 323

Resposta

O comprimento da curva é 323 unidades.

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