Seja f a função definida por:
f(x)=cc a-b x, & se x>-3 5 b, & se x=-3 -x+a, & se x<-3
Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua em x=-3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função dividida em partes diferentes dependendo do valor de x . O objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem com que a função f(x) seja contínua em x = -3 . Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” na função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em x = c se:
  1. f(c) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de c existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em c , ou seja, limx to c f(x) = f(c) .
No nosso caso, c = -3 .

Passo 3

Vamos identificar as partes da função f(x) :
  • Para x > -3 : f(x) = a - b x
  • Para x = -3 : f(x) = 5b
  • Para x < -3 : f(x) = -x + a
Precisamos garantir que:
limx to -3^+ f(x) = limx to -3^- f(x) = f(-3)

Passo 4

Vamos calcular o limite quando x se aproxima de -3 pela direita ( x to -3^+ ):
limx to -3^+ f(x) = limx to -3^+ (a - b x)
Como a função a - b x é contínua para x > -3 , basta substituir x por -3:
a - b (-3) = a + 3b

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de -3 pela esquerda ( x to -3^- ):
limx to -3^- f(x) = limx to -3^- (-x + a)
Novamente, como a função -x + a é contínua para x < -3 , substituímos x por -3:
-(-3) + a = 3 + a

Passo 6

Sabemos que f(-3) = 5b . Para a função ser contínua em x = -3 , os dois limites que calculamos devem ser iguais a f(-3) :
a + 3b = 5b
3 + a = 5b
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. a + 3b = 5b
  2. a + 3 = 5b

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
a + 3b = 5b
a = 5b - 3b
a = 2b
Agora, substituímos a = 2b na segunda equação:
2b + 3 = 5b
3 = 5b - 2b
3 = 3b
b = 1
Agora que temos b , podemos encontrar a :
a = 2b = 2 times 1 = 2

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em x = -3 são a = 2 e b = 1 .

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