Questão 1 (2 pontos).
Encontre f(x) sabendo que :
f^{\prime \prime}(x)=4+6 x+24 x^{2}, \quad f(0)=3 \quad f(1)=10

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada de f,
f''(x)=4+6x+24x^2,
e as condições iniciais f(0)=3 e f(1)=10. O conteúdo aqui é resolver uma EDO de ordem 2 por integração, determinando as constantes de integração a partir das condições dadas.

Passo 2

Integramos f''(x) para encontrar f'(x). Como
\int\bigl(4+6x+24x^2\bigr)\,dx =4x+3x^2+8x^3+C_1,
temos
f'(x)=4x+3x^2+8x^3+C_1.

Passo 3

Integramos f'(x) para obter f(x). Calculando
\int\bigl(4x+3x^2+8x^3+C_1\bigr)\,dx =2x^2+x^3+2x^4+C_1x+C_2,
segue que
f(x)=2x^2+x^3+2x^4+C_1x+C_2.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
  • Em x=0: f(0)=C_2=3.
  • Em x=1:
f(1)=2+1+2+C_1+3=8+C_1=10 \quad\Longrightarrow\quad C_1=2.

Passo 5

Substituindo C_1=2 e C_2=3 em f(x), obtemos
f(x)=2x^4+x^3+2x^2+2x+3.

Resposta

f(x)=2x^4+x^3+2x^2+2x+3.

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